Grenzwert Allg. Potenzfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 So 24.06.2007 | | Autor: | Insider2 |
Man bestimme für [mm] \alpha \in \IR [/mm]
lim x [mm] \mapsto [/mm] 1 [mm] (x^\alpha [/mm] - 1)/(x-1) mit x [mm] \not= [/mm] 1.
Meine Idee ist, dass der Grenzwert [mm] \alpha [/mm] ist. Irgendwie scheint mir dort eine Verbindung zum Differenzenquotienten zu bestehen.
Außerdem habe ich schon probiert, dies umzuformen:
lim x [mm] \mapsto [/mm] 1 (exp( [mm] \alpha \* [/mm] log x)-1)/(x-1), aber ich weiß nicht, ob mich das weiterbringt.
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Hallo Insider,
wenn ich nicht gerade ganz neben mir stehe, würde ich mal so auf die Schnelle sagen, dass l'Hospital doch äußerst schnell zum Ziel führt, oder?
[mm] \lim\limits_{x\to 1}\frac{\overbrace{x^{\alpha}-1}^{f(x)}}{\underbrace{x-1}_{g(x)}} [/mm] erfüllt doch die Bedingungen von l'Hospital, du hast den unbestimmten Ausdruck [mm] \frac{0}{0}
[/mm]
Bilde also [mm] \lim\limits_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
Der ist dann gleich [mm] \lim\limits_{x\to 1}\frac{f(x)}{g(x)}
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 So 24.06.2007 | | Autor: | Insider2 |
Richtig, doch l'Hopital war bislang noch nicht Thema der Vorlesung...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Di 26.06.2007 | | Autor: | wauwau |
ich würde das mal für rationale Alpha beweisen
und ausnützen dass
[mm] x^{\bruch{n}{m}}-1 [/mm] = [mm] (x^{\bruch{1}{m}})^n-1 [/mm] = [mm] (x^{\bruch{1}{m}}-1)*\summe_{k=0}^{n-1}(x^{\bruch{1}{m}})^k [/mm] ist
den Nenner analog 1= [mm] \bruch{m}{m}
[/mm]
[mm] x^{\bruch{m}{m}}-1 [/mm] = [mm] (x^{\bruch{1}{m}})^m-1 [/mm] = [mm] (x^{\bruch{1}{m}}-1)*\summe_{k=0}^{m-1}(x^{\bruch{1}{m}})^k [/mm] ist
denn dann kann man Zähler und Nenner durch [mm] (x^{\bruch{1}{m}}-1) [/mm] kürzen und im Zähler bleibt für x-> 1 n und im Nenner m stehen also insgesamt [mm] \bruch{n}{m}
[/mm]
wenn du nun das reelle [mm] \alpha [/mm] durch eine folge rationaler Zahlen approx. hast du das gewünschte ergebnis..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Di 26.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
die Idee mit dem Differenzenquotienten ist doch gut. Betrachte den Differenzenquotienten der Funktion [mm] f(x)=x^{a} [/mm] in 1. Dann steht da genau der Limes den du berechnen willst. Da du weist, das die Ableitung [mm] ax^{a-1} [/mm] ist, weist du das der Differenzenquotient konvergiert und das der Grenzwert a ist.
Mit l´hospital und anderen Tricks kommt man natürlich auch zum Ziel, aber da dies ja gerade Thema der Vorlesung war und auch am schnellsten zum Ziel führt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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