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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Grenzwert 2 Veränderlicher
Grenzwert 2 Veränderlicher < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Grenzwert 2 Veränderlicher: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:30 Mo 22.06.2015
Autor: memfail

Aufgabe
Berechnen Sie die Grenzwerte:
[mm] f(x,y)=\bruch{x*sin(y)}{x^{2}+y^{2}} [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\limes_{y\rightarrow 0}f(x,y); [/mm]
[mm] \limes_{y\rightarrow 0}\limes_{x\rightarrow 0}f(x,y); [/mm]
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y); [/mm]

Hallo,

Ich habe bei der o.g. Aufgabe folgendes Problem:

[mm] \limes_{y\rightarrow 0}f(x,y) [/mm] ergibt ja 0, [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] f(x,y) ergibt ebenfalls null.
Somit müssten die beiden [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\limes_{y\rightarrow 0}f(x,y); [/mm] und [mm] \limes_{y\rightarrow 0}\limes_{x\rightarrow 0}f(x,y); [/mm] ja auch jeweils gegen null gehen.

Ich würde doch dann davon ausgehen, dass [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] ebenfalls null ergibt.
Leider ergibt das nach meinen Infos, dass es keinen Grenzwert gibt. (WolframAlpha) :D

Warum ist das so und wie berechne ich das?


1 Versuch: [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y) [/mm] => [mm] \limes_{(x)\rightarrow 0}f(x,\alpha [/mm] x)  => [mm] \bruch{sin(\alpha x)}{x(1+\alpha ^{2})} [/mm]
und nu? Wie kann ich jetzt weiterrechnen? (Ich will hier ein gegenbeispiel bringen, also das für ein [mm] \alpha [/mm] der grenzwert nicht null ist.....

2. Versuch -> umformen in Polarkoordinatenform
[mm] \limes_{r \rightarrow 0} \bruch{cos \varphi * sin(r*sin \varphi )}{r} [/mm]
und wie würde es hier weitergehen? auch hier möchte ich zeigen, dass selbst wenn r gegen null geht NICHT null rauskommt....

Ich danke für eure Zeit

Gruß memfail
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Grenzwert 2 Veränderlicher: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:07 Di 23.06.2015
Autor: fred97

Zu Versuch 1: wähle [mm] \alpha=1 [/mm]

Zu Versuch 2: wenn Du Dich an Versuch 1 orientierst, so sollte es mit [mm] $\varphi=\pi/4$ [/mm] klappen.

FRED

Bezug
                
Bezug
Grenzwert 2 Veränderlicher: Danke, wie geht das?
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:05 Mi 24.06.2015
Autor: memfail

Hallo,

und erstmal vielen Dank für die Antwort.

Aber wie komme ich z.b. auf solch eine Antwort?
Gibt es da schlauere Möglichkeiten als scharfes Hingucken?

Viele Grüße

Bezug
                        
Bezug
Grenzwert 2 Veränderlicher: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 So 28.06.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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