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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 So 14.05.2017 | | Autor: | Austinn |
| Aufgabe | Überprüfe, ob die folgenden Grenzwerte existieren. Falls ja, gebe den Grenzwert an.
[mm] a)\limes_{x\rightarrow2}\bruch{|x-2|}{4-x^{2}} [/mm] und [mm] b)\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{x} [/mm] |
hallo,
Im Fall b): [mm] sin(\bruch{1}{x}) [/mm] ergibt für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = 0, da [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] = 0 und sin(0) = 0. Der Grenzwert ist also 0, da 0 durch eine Zahl = 0 ist.
Bei der a) komme ich nun auf das Problem 0/0. Recherchiert komme ich nun auf die Regel von l'Hospital. Nur haben wir noch keine Differentialrechnungen durch genommen und Ableitungen von Beträgen verstehe ich auch nicht. Gibt es einen anderen Weg um zu überprüfen, ob der Grenzwert für a) existiert? Und falls ja, welchen? Und wie würde man es hier mit der Regel von l'Hospital lösen? Also das Ableiten vom Betrag? Ich würde gerne beide Wege (falls es einen anderen gibt) verinnerlichen wollen.
Danke!
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Hallo,
> Überprüfe, ob die folgenden Grenzwerte existieren. Falls
> ja, gebe den Grenzwert an.
> [mm]a)\limes_{x\rightarrow2}\bruch{|x-2|}{4-x^{2}}[/mm] und
> [mm]b)\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{x}[/mm]
> hallo,
> Im Fall b): [mm]sin(\bruch{1}{x})[/mm] ergibt für
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = 0, da [mm]\bruch{1}{x}[/mm] für
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] = 0 und sin(0) = 0. Der
> Grenzwert ist also 0, da 0 durch eine Zahl = 0 ist.
Na ja, das kann man besser formulieren. Konkret kommt beim Typ [mm] 0/\infty [/mm] stets 0 heraus.
> Bei der a) komme ich nun auf das Problem 0/0. Recherchiert
> komme ich nun auf die Regel von l'Hospital. Nur haben wir
> noch keine Differentialrechnungen durch genommen und
> Ableitungen von Beträgen verstehe ich auch nicht. Gibt es
> einen anderen Weg um zu überprüfen, ob der Grenzwert für
> a) existiert?
Faktorisiere den Nenner mit Hilfe der 3. Binomischen Formel. Und mache dir klar, was das Betragszeichen hier für eine entscheidende Wirkung hat. Betrachte dazu die Grenzwerte von links und von rechts getrennt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 So 14.05.2017 | | Autor: | Austinn |
Hallo Diophant,
> Betrachte dazu die Grenzwerte von links und von rechts getrennt.
Was meinst du damit? Meinst du von links und rechts kommend oder für alle [mm] x\ge2 [/mm] und [mm] x\le2 [/mm] also + und [mm] -\infty?
[/mm]
etwa so:
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\bruch{|x-2|}{4-x^{2}}
[/mm]
1) Falls [mm] x\ge2
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{|x-2|}{4-x^{2}}=\bruch{x-2}{(x-2)(x+2)}
[/mm]
2) Falls [mm] x\le2
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{|x-2|}{4-x^{2}}=\bruch{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}
[/mm]
Kann ich nun die x-2 bei beiden Fällen kürzen und es kommt das Typ [mm] \limes_{x\rightarrow+-\infty}1/x [/mm] also = 0.
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Hallo,
> Hallo Diophant,
> > Betrachte dazu die Grenzwerte von links und von rechts
> getrennt.
> Was meinst du damit? Meinst du von links und rechts kommend
> oder für alle [mm]x\ge2[/mm] und [mm]x\le2[/mm] also + und [mm]-\infty?[/mm]
Was hat denn hier das [mm] \infty [/mm] zu suchen? Die Stelle x=2 soll untersucht werden! Natürlich für x<2 und x>2 bzw. von links und rechts, das ist doch dasselbe!
> etwa so:
> [mm]\limes_{x\rightarrow2}\bruch{|x-2|}{4-x^{2}}[/mm]
>
> 1) Falls [mm]x\ge2[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{|x-2|}{4-x^{2}}=\bruch{x-2}{(x-2)(x+2)}[/mm]
>
> 2) Falls [mm]x\le2[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}\bruch{|x-2|}{4-x^{2}}=\bruch{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}[/mm]
>
> Kann ich nun die x-2 bei beiden Fällen kürzen
Du kannst und sollst.
> und es
> kommt das Typ [mm]\limes_{x\rightarrow+-\infty}1/x[/mm] also = 0.
>
Nein, da musst du schon nochmal sauber nachrechnen (in der Grundschule hatte ich mal irgendwann den Fall 2+2=4 gelernt...  )
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 14.05.2017 | | Autor: | Austinn |
Nach dem kürzen würde -1/4 und 1/4 raus kommen. Da diese Werte nicht übereinstimmen kann es bei [mm] \limes_{x\rightarrow2} [/mm] keinen Grenzwert geben. So in etwa  ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 So 14.05.2017 | | Autor: | fred97 |
> Nach dem kürzen würde -1/4 und 1/4 raus kommen. Da diese
> Werte nicht übereinstimmen kann es bei
> [mm]\limes_{x\rightarrow2}[/mm] keinen Grenzwert geben. So in etwa
> ?
Ja
Fred
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