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Hi,
Ich habe folgende Aufgabe:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(\wurzel{x})*(\wurzel{2+x^2}-\wurzel{2})}{\wurzel{x}*x^2}$
[/mm]
Jetzt soll der Grenzwert berechnet werden. Ich komme immer auf einen Ausdruck der Form, so dass Bernoulli - de l'Hospital benutzt werden muss. Ist das wirklich so? Ich meine mich zu erinnern der Prof. hat gesagt es wäre möglich durch geschickte Umformung die Form so zu vereinfachen, dass es möglich wird den Grenzwert eindeutig zu bestimmen. Sieht das jemand? Ich sitze schon eine Stunde daran und hab alles mögliche ohne Erfolg versucht. Hat jemand einen Tip was man noch versuchen könnte?
Gruß
Andreas
(Das ist übringens kein Übungsaufgabe die irgendwo abzugeben ist. Nur eine Aufgabe zum lernen. Das nur als Hinweis, weil in letzter Zeit so Warnungen wegen eines Aufgabenblattes von einem Prof. erscheinen...)
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> Der erste Ausdruck [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin\left(\wurzel{x}\right)}{\wurzel{x}}[/mm]
> sollte Dir vielleicht schon einmal in einer etwas
> einfacheren Variante begegnet sein.
Stimmt, [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{sin(x)}{x}=1$
[/mm]
> Ansonsten kannst Du diesen Grenzwert nun wirklich mit
> dem Grenzwertsatz nach de l'Hospital
> ermitteln.
Hab ich auch nochmal gemacht. Kommt auch 1 raus. Kann man also davon ausgehen, wenn man z.B. den Grenzwert von [mm] $\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{sin(x)}{x}$ [/mm] kennt und nun statt "x" etwas mit dem gleichen Grenzwert hat, z.B. wie hier [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] oder [mm] $x^2$, [/mm] dann hat beides den gleichen Grenzwert?
> Den zweiten Bruch erweitern wir mal geschickt, so daß wir
> im Zähler die 3. binomische Formel anwenden können, mit
> [mm]\wurzel{2+x^2} \ \red{+} \ \wurzel{2}[/mm] .
>
> Nach dem Zusammenfassen kannst Du den entsprechenden
> Grenzwert fast ablesen.
>
> Was erhältst Du?
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}=\bruch{1}{\wurzel{2+x^2}+\wurzel{2}}=\bruch{1}{2*\wurzel{2}}$
[/mm]
Stimmt das so?
Gruß
Andreas
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![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Dieses "Auseinanderziehen der Grenzwerte" gilt aber nur, wenn auch wirklich entsprechende Grenzwerte $< \ [mm] \pm [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] existieren.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Voraussetzung: Dieses "etwas" sowohl als Sinus-Argument als auch im Nenner muß auch gegen Null gehen für $x [mm] \rightarrow [/mm] 0$ !
