Grenzwert + Funktionswerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Sa 03.01.2009 | | Autor: | Angy |
| Aufgabe | eine in [mm] \IR [/mm] definierte Funktion genügt der Ungleichung
[mm] x-x^2 \ge [/mm] f(x) [mm] \le x+x^2
[/mm]
a) was ist f(0)?
b) ist f(x) in x=0 stetig und differenzierbar? |
Hallo,
ich hoffe ich bin hier im richtigen Forum.
Zu der Aufgabe oben habe ich Fragen. Zunächst zu Teil a) hier muss ich ja Grenzwerte berechnen und da habe ich mit [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] angesetzt, einmal für die "obere Grenze" mit [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x+h+(x+h)^2-(x+x^2)}{h} [/mm] angesetzt und für die "untere Grenze" äquivalent dazu [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x+h-(x+h)^2-(x-x^2)}{h} [/mm] . Dazu habe ich auch Ergebnisse ausgerechnet für die "untere Grenze" habe ich 1-h erhalten und für die "obere Grenze" 1+h. Dies ist meiner Ansicht nach aber nicht richtig, da ich ja eine normale Zahl erhalten will. Welche Rechenschritte muss ich vornehmen, damit ich zu einem sinnvollen Ergebnis gelange?
Nun zur Aufgabe b. Hier ist ja nach Stetigkeit und Differenzierbarkeit gefragt. Was das ist ist mir klar und das Stetigkeit Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist auch. Das Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das zeige bzw. berechne. Könnte mir jemand das an einem nicht zu schweren Beispiel verständlich machen? Ich hoffe dann auch mit meiner Aufgabe klar zu kommen.
Im Voraus schonmal Danke für die Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Sa 03.01.2009 | | Autor: | abakus |
> eine in [mm]\IR[/mm] definierte Funktion genügt der Ungleichung
> [mm]x-x^2 \ge[/mm] f(x) [mm]\le x+x^2[/mm]
> a) was ist f(0)?
> b) ist f(x) in x=0 stetig und differenzierbar?
> Hallo,
> ich hoffe ich bin hier im richtigen Forum.
> Zu der Aufgabe oben habe ich Fragen. Zunächst zu Teil a)
> hier muss ich ja Grenzwerte berechnen und da habe ich mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm] angesetzt,
> einmal für die "obere Grenze" mit
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x+h+(x+h)^2-(x+x^2)}{h}[/mm]
> angesetzt und für die "untere Grenze" äquivalent dazu
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x+h-(x+h)^2-(x-x^2)}{h}[/mm] .
> Dazu habe ich auch Ergebnisse ausgerechnet für die "untere
> Grenze" habe ich 1-h erhalten und für die "obere Grenze"
> 1+h. Dies ist meiner Ansicht nach aber nicht richtig, da
> ich ja eine normale Zahl erhalten will. Welche
> Rechenschritte muss ich vornehmen, damit ich zu einem
> sinnvollen Ergebnis gelange?
Laut Voraussetzung liegt f(0) "zwischen" [mm] 0-0^2 [/mm] und [mm] 0+0^2. [/mm]
> Nun zur Aufgabe b. Hier ist ja nach Stetigkeit und
> Differenzierbarkeit gefragt. Was das ist ist mir klar und
> das Stetigkeit Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist
> auch. Das Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das
> zeige bzw. berechne. Könnte mir jemand das an einem nicht
> zu schweren Beispiel verständlich machen? Ich hoffe dann
> auch mit meiner Aufgabe klar zu kommen.
Definiert ist die Funktion für alle relle Zahlen und damit auch an der Stelle 0. Der Unstetigkeitsgrund "nicht definiert" entfällt schon mal. Ist es möglich, dass die Funktion (an der Stelle x=0) "Sprünge" macht?
Für eine Sprungstelle wäre erforderlich, dass sich die Funktionswerte f(0) und f(h) auch für noch so kleine h um einen gewissen Differenzbetrag Delta>0 unterscheiden. Lässt sich ein solches Delta angeben?
Gruß Abakus
> Im Voraus schonmal Danke für die Hilfe.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 04.01.2009 | | Autor: | Angy |
ah, Teil a war ja doch ganz einfach, danke.
Ich würde sagen, dass die Funktion einen Sprung macht, weil ich [mm] x-x^2 [/mm] und [mm] x+x^2 [/mm] nur für x=0 zur Übereinstimmung bringen kann. Wobei ich habe grade mal [mm] x=1*10^{-7} [/mm] eingesetzt und bei beiden Grenzen nähert sich der Funktionswert von oben
untere Grenze: [mm] \bruch{1}{9999999}
[/mm]
obere Grenze: [mm] \bruch{1}{10000001}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x-x^2=\limes_{x\rightarrow 0}x+x^2 [/mm] das ist die Bedingung damit die Funktion f(x) stetig und damit differenzierbar ist.
Und aus a) weiß ich, dass der Limes für x gegen 0 =null und sich damit
auch die Stetigkeit ergibt. Das wäre dann erst noch allgemein mit (x+h) zu zeigen, damit ich nachweisen kann ob sich das delta ergibt.
Gruß
Angy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Mo 05.01.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn der rechtsseitige Limes und der linksseitige Limes an der Stelle x=0 übereinstimmen, ist die Funktion stetig
Für den rehtsseitigen Limes nimm mal ersetze mal [mm] x\to0 [/mm] durch [mm] 0+\bruch{1}{n}=\bruch{1}{n} [/mm] und lasse dann [mm] n\to\infty [/mm] laufen, bei Linksseitigen ersetze dann durch [mm] -\bruch{1}{n}
[/mm]
Also berechne mal:
Linksseitig (x-x²)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x-x^{2}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{1}{n}-\left(-\bruch{1}{n}\right)^{2}
[/mm]
Rechtsseitig (x-x²)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x-x^{2}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}-\left(\bruch{1}{n}\right)^{2}
[/mm]
Linksseitig (x+x²)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x-x^{2}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{1}{n}+\left(-\bruch{1}{n}\right)^{2}
[/mm]
Rechtsseitig (x+x²)
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}x+x^{2}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}+\left(\bruch{1}{n}\right)^{2}
[/mm]
Wenn du diese Grenzwerte hast, ziehe mal deine Schlüsse daraus.
Marius
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