Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Do 16.08.2012 | | Autor: | DonC |
| Aufgabe | Bestimmen sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}} [/mm] |
Hallo allerseits,
ich komme beim bestimmen dieses Grenzwertes nicht richtig weiter.
Ich kann die Reihe auf die Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{4^{n}}+\bruch{1}{4^{n}} [/mm] bringen was zu [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{-1}{4})^{n}+(\bruch{1}{4})^{n} [/mm] führt. Jedoch komme ich hier nicht weiter, da sich hieraus keine Teleskopsumme und keine harmonische Reihe ergibt und ich nichts anderes erkennen kann.
Kann mir hier jemand weiterhelfen? Das wäre sehr nett.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG DonC
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Do 16.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}}[/mm]
> Hallo
> allerseits,
> ich komme beim bestimmen dieses Grenzwertes nicht richtig
> weiter.
Hallo,
hast du schon bemerkt, dass jeder zweite Summand Null ist?
Gruß Abakus
> Ich kann die Reihe auf die Form [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{4^{n}}+\bruch{1}{4^{n}}[/mm]
> bringen was zu [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{-1}{4})^{n}+(\bruch{1}{4})^{n}[/mm]
> führt. Jedoch komme ich hier nicht weiter, da sich hieraus
> keine Teleskopsumme und keine harmonische Reihe ergibt und
> ich nichts anderes erkennen kann.
> Kann mir hier jemand weiterhelfen? Das wäre sehr nett.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> MfG DonC
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Do 16.08.2012 | | Autor: | DonC |
Hallo abakus,
danke für deine schnelle Antwort. Das jeder zweiter Summand Null ergibt ist mir aufgefallen, ich kann daraus jedoch nichts sinnvolles folgern, zumindest gilt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}}= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{2n}+1}{4^{2n}}+\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{2n+1}+1}{4^{2n+1}}, [/mm] wobei der zweite Term immer Null ergibt und somit [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}}= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{2n}+1}{4^{2n}} [/mm] gilt.
Könntest du mir bitte nochmals weiterhelfen?
MfG DonC
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 16.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
> danke für deine schnelle Antwort. Das jeder zweiter
> Summand Null ergibt ist mir aufgefallen, ich kann daraus
> jedoch nichts sinnvolles folgern, zumindest gilt:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}}= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{2n}+1}{4^{2n}}+\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{2n+1}+1}{4^{2n+1}},[/mm]
> wobei der zweite Term immer Null ergibt und somit
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}}= \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{2n}+1}{4^{2n}}[/mm]
> gilt.
> Könntest du mir bitte nochmals weiterhelfen?
Was ist denn [mm](-1)^{2n}[/mm]?
Und was ist [mm]4^{2n}[/mm] nach Anwendung gewisser Potenzgesetze?
Gruß Abakus
>
> MfG DonC
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 Do 16.08.2012 | | Autor: | DonC |
Vielen Dank abakus und reverend,
ich habe es nun zu später Stunde endlich hinbekommen mit [mm] (-1)^{2n}=1 [/mm] bzw. [mm] 4^{2n}=16^{n}, [/mm] somit erhalte ich eine harmonische Reihe mit [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{4})^{2n}+(\bruch{1}{4})^{2n}= 2\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{16})^{n}=\bruch{32}{15}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:54 Do 16.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Vielen Dank abakus und reverend,
> ich habe es nun zu später Stunde endlich hinbekommen mit
> [mm](-1)^{2n}=1[/mm] bzw. [mm]4^{2n}=16^{n},[/mm] somit erhalte ich eine
> harmonische Reihe mit [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{4})^{2n}+(\bruch{1}{4})^{2n}= 2\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{16})^{n}=\bruch{32}{15}[/mm]
>
Abend,
Ergebnis richtig, allerdings ist es eine geometrische Reihe.
Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Do 16.08.2012 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank abakus und reverend,
> ich habe es nun zu später Stunde endlich hinbekommen mit
> [mm](-1)^{2n}=1[/mm] bzw. [mm]4^{2n}=16^{n},[/mm] somit erhalte ich eine
> harmonische Reihe mit
geometrisch, nicht harmonisch...
Sonst stimmt es.
Gruß Abakus
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{4})^{2n}+(\bruch{1}{4})^{2n}= 2\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{16})^{n}=\bruch{32}{15}[/mm]
>
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Hallo DonC,
wenn ich mich mal an abakus anhänge:
Und hast Du schon bemerkt, wo die "Nicht-Null-Glieder" so hinstreben? Ist die Reihe also konvergent?
Du wirst hier nicht umhin kommen, sie aufzuspalten und damit neu zu formulieren. Schmeiß die "Null-Glieder" raus und bring den Rest in eine gewohnte Reihenform (durch Substitution der Laufvariablen). Dann findest Du die Lösung im Handumdrehen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Do 16.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}}[/mm]
warum wurde hier nicht einfach so gerechnet? (Ich schreibe der Einfachheit wegen [mm] $\sum:=\sum_{n=0}^\infty$ [/mm] - es ist ja klar, was die Laufvariable ist und wo die Grenzen!)
[mm] $$\sum \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}}=( \sum (-1/4)^n [/mm] ) [mm] +\sum (1/4)^n=\frac{1}{1-\frac{-1}{4}}+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}+\frac{4}{3}=\frac{12+20}{15}=\frac{32}{15}\,.$$
[/mm]
Die Formel [mm] $\sum q^n=\frac{1}{1-q}$ [/mm] gilt für alle $|q| [mm] <1\,,$ [/mm] und [mm] $\sum (a_n+b_n)=(\sum a_n)+\sum b_n$ [/mm] bei Konvergenz beider Reihen rechterhand!
(Anscheinend beachtenswert: Auch $q:=-1/4$ erfüllt [mm] $|q|\,<1\,,$ [/mm] denn $|-1/4|=1/4 [mm] <\, 1\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Fr 17.08.2012 | | Autor: | DonC |
Hallo Marcel,
Danke dir für deine Lösungsvariante, welche mir etwas schneller erscheint.
Gruß DonC
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Do 16.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie den Grenzwert der folgenden Reihe:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}+1}{4^{n}}[/mm]
und weil's so spaßig ist, eine Minimalvariante von Abakus Vorschlag:
[mm] $$\sum \frac{(-1)^n+1}{4^n}=\frac{1}{8}\sum \frac{16}{16^n}=\frac{1}{8}*\left(16+\sum (1/16)^n\right)=\frac{1}{8}*\left(16+\frac{1}{1-\frac{1}{16}}\right)=2+\frac{1}{8}*\frac{16}{15}=\frac{32}{15}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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