Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:55 Mi 31.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4} [/mm] |
Hallo,
bei der obenstehenden Aufgabe bin ich mir leider etwas unsicher beim lösen:
Hier mein Ansatz,
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4}=\limes_{x\rightarrow2}
[/mm]
[mm] \bruch{e^{ln(x)*x}-4}{x^{2}-4}
[/mm]
Dann wollte ich nur noch den Exponenten von der e-Funktion 2 mal ableiten
wäre dann
f(x)=ln(x)*x
f´ (x)=1+ln(x)
f´´ [mm] (x)=\bruch{1}{x}
[/mm]
Außerdem würde ich dann auch zweimal den Nenner Ableiten.
Mein Ergebnis würde dann lauten
[mm] \bruch{e^{\bruch{1}{2}}}{2}
[/mm]
Denke aber das ich etwas falsch gemacht habe.
Mfg
|
|
| |
|
Moin RWBK,
> [mm]\limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4}[/mm]
> Hallo,
>
> bei der obenstehenden Aufgabe bin ich mir leider etwas
> unsicher beim lösen:
>
> Hier mein Ansatz,
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4}=\limes_{x\rightarrow2}[/mm]
> [mm]\bruch{e^{ln(x)*x}-4}{x^{2}-4}[/mm]
>
> Dann wollte ich nur noch den Exponenten von der e-Funktion
> 2 mal ableiten
Wie kommst du darauf?
Wende die Regel von L'Hospital an. Die Ableitung von [mm] \ln(x)*x [/mm] brauchst du dafür tatsächlich.
> wäre dann
> f(x)=ln(x)*x
> f´ (x)=1+ln(x)
> f´´ [mm](x)=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> Außerdem würde ich dann auch zweimal den Nenner
> Ableiten.
>
> Mein Ergebnis würde dann lauten
> [mm]\bruch{e^{\bruch{1}{2}}}{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mi 31.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
dann würde es ja wie folgt aussehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4}=
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}*(ln(x)+1)}{2x}=
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}*(ln(x)+1)*(ln(x)+1)+x^{x}*\bruch{1}{x}}{2}
[/mm]
oder etwa nicht? Aber den Grenzwert wüsste ich davon jetzt ehrlich gesagt nicht.
mfg
|
|
|
| |
|
Hallo,
es reicht hier aus, de l'Hospital einmalig anzuwenden. Danach kann man einmal durch x kürzen. Wenn man nun 2 einsetzt, kann man auch noch durch 2 kürzen.
Probiere das mal und schau dir an, was da noch übrig bleibt. 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mi 31.08.2011 | | Autor: | DM08 |
Hallo RWBK,
Eventuell solltest du dir immer vor den Augen halten, ob du überhaupt die Regel von L'Hospital benutzten darfst. Am Besten du schreibst immer dahinter um welchen Typ es sich handelt. In dem Beispiel geht es um den Typ [mm] "\bruch{0}{0}.
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4}=\limes_{x\rightarrow2}(\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4})'=\limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}(\ln(x)+1)}{2x}
[/mm]
Soweit ist alles richtig. Nun musst du wieder erkennen ob es sich um einen bestimmten Typ von L'Hospital handelt. Das ist hier nicht der Fall, sodass du nicht noch einmal ableiten darfst.
Ich zeige dir an einem Beispiel was passieren kann, wenn man das nicht untersucht. Ich werde nun falsch rechnen, so wie du es getan hast.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}2x=\limes_{x\rightarrow\infty}(2x)'=\limes_{x\rightarrow\infty}2=2
[/mm]
Und das ist falsch ! Bei deiner Aufgabe wäre übrigens die zweite Ableitung falsch gewesen.
Kommen wir zu deiner Aufgabe zurück :
[mm] \limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4}=\limes_{x\rightarrow2}(\bruch{x^{x}-4}{x^{2}-4})'=\limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x}(\ln(x)+1)}{2x}=\limes_{x\rightarrow2}\bruch{x^{x-1}(\ln(x)+1)}{2}=\bruch{2^{2-1}(\ln(2)+1)}{2}=\ln(2)+1
[/mm]
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 16:29 Mi 31.08.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo DM08,
danke für den Hinweis: so weit habe ich in dem Moment gar nicht gedacht, da man ja nach einmal l'Hospital hier fertig ist. Aber das ist wichtig, dass eine zweite Anwendung hier nicht zulässig ist!
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 31.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
okay so war mir das ehrlich gesagt noch nicht klar. Was ich jetzt noch gerne wissen würde ist was du mit bestimmten Typ von L'Hospital meintest. Wäre super wenn du mir das vllt auch noch einmal etwas erläutern könntest.
Mfg
|
|
|
| |
|
Hallo,
vermutlich meinte er einfach, dass es unterschiedliche Arten von nicht definierten Ausdrücken gibt. Es gibt meiner Kenntnis nach keine unterschiedlichen Arten der l'Hospitalschen Regel, sondern man darf sie schlicht und ergreifend dann und nur dann anwenden, wenn bei der Auswertung des Grenzwertes einer der beiden Ausdrücke
[mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
bzw.
[mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
auftritt.
In vielen anderen Fällen, wo undefinierten Ausdrücke wie [mm] 0*\infty, 0^0 [/mm] oder [mm] \infty-\infty [/mm] auftreten, lässt sich der auszuwertende Term so umformen, dass man dann l'Hospital schlussendlich anwenden kann.
Und der Tipp von DM08 enthielt nioch einen anderen Aspekt: oft kennt man die Regel von de l'Hospital noch von der Schule her. Sie darf aber nicht angewendet werden, wenn sie noch nicht eingeführt ist, darauf muss immer wieder hingewiesen werden.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
