Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Grenzwerte von
a.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{x^{2}+1}-n) [/mm] |
Hallo,
würde mich freuen wenn jemand gegebenfalls meine Lösung korregieren könnte.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{n^{2}+1}-n)= \limes_{n\rightarrow\infty} n*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)
[/mm]
Jetzt betrachte ich nur den folgenden Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)
[/mm]
Es handelt sich dabei um einen unbestimmen Grenzwert da folgender Ausdruck vorliegt, [mm] \infty-\infty [/mm] .
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1+n}=0
[/mm]
(Hab mir hier bei zwei drei Schritte geschenkt)
Hieße also für meinen Gesamtengrenzwert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{n^{2}+1}-n)=0 [/mm] oder?
Kann man das bei Produkten immer so machen? Hat diese Regel vllt irgendeinen bestimmten Namen?
mfg
RWBK
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
ist mir beim erneuten überlesen auch auf gefallen, habe ich bereits berichtigt.Entschuldigung.
Mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Fr 19.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bestimmen Sie die Grenzwerte von
>
> a.) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{x^{2}+1}-n)[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> würde mich freuen wenn jemand gegebenfalls meine Lösung
> korregieren könnte.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{n^{2}+1}-n)= \limes_{n\rightarrow\infty} n*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n *
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)[/mm]
>
> Jetzt betrachte ich nur den folgenden Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)[/mm]
>
> Es handelt sich dabie bei um einen unbestimmen Grenzwert da
> folgender Ausdruck vorliegt, [mm]\infty-\infty[/mm] .
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n+1+n}=0[/mm]
das = ist falsch, das ergebnis 0 ist richtig, aber der Weg, wie du (wahrscheinlich) etwa dahin gekommen bist hilft dir auch bein gesamt GW
>
> (Hab mir hier bei zwei drei Schritte geschenkt)
> Hieße also für meinen Gesamtengrenzwert:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{n^{2}+1}-n)=0[/mm] oder?
ODER!
wie kommst du darauf, da stünde ja [mm] \infty*0
[/mm]
du kannst wenn nicht beide GW echt konvergieren, das Produkt nicht auseinander ziehen
also [mm] lim(a_n*b_n)==lima_n*limb_n [/mm] NUR, wenn beide GW existeiern, also lim [mm] a_n=a, limb_n=b!
[/mm]
> Kann man das bei Produkten immer so machen? Hat diese
> Regel vllt irgendeinen bestimmten Namen?
Ja: falsche Regel ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Ehrlich gesagt verstehe ich nur noch Bahnhof.Was ich verstanden habe ist, das mein Ergebnis falsch ist!^^Getrennt aufschreiben durfte man das aber schon noch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n [mm] *\limes_{n\rightarrow\infty}.... [/mm] oder?
Diese ganze konvergieren ist mir glaub alles nicht klar. Langsam kriege ich bei Mathe nur noch das ko... . Ich hätte also die ganze Funktion erweitern müssen um den Grenzwert zu berechnen? Wenn ja wie hätte ich sie denn erweitern sollen?
mfg
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Hallo RWBK,
> Ehrlich gesagt verstehe ich nur noch Bahnhof.Was ich
> verstanden habe ist, das mein Ergebnis falsch
> ist!^^Getrennt aufschreiben durfte man das aber schon noch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n [mm]*\limes_{n\rightarrow\infty}....[/mm] oder?
> Diese ganze konvergieren ist mir glaub alles nicht klar.
> Langsam kriege ich bei Mathe nur noch das ko... . Ich
> hätte also die ganze Funktion erweitern müssen um den
> Grenzwert zu berechnen?
Das wäre der übliche Weg.
> Wenn ja wie hätte ich sie denn
> erweitern sollen?
Nun, ich glaube das hatten wir schonmal ...
Ein probates Mittel, um eine Summe oder Differenz von Wurzeltermen loszuwerden, ist es, so zu erweitern, dass die 3.binomische Formel entsteht.
Erweitere also [mm]n\cdot{}(\sqrt{n^2+1}-n)[/mm] mit [mm]\sqrt{n^2+1}\red{+}n[/mm]:
[mm]n\cdot{}(\sqrt{n^2+1}-n)=n\cdot{}\frac{\overbrace{(\sqrt{n^2+1}-n)\cdot{}(\sqrt{n^2+1}\red{+}n)}^{\text{3.binom. Formel}}}{\sqrt{n^2+1}\red{+}n}[/mm]
Nun vereinfacht sich der Zähler sehr, im Nenner klammere unter der Wurzel [mm]n^2[/mm] aus, hole es als [mm]n[/mm] heraus und klammere dann [mm]n[/mm] aus ...
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Nochmal danke für deine schnelle antwort.
Hab das jetzt genauso gemacht wie du gesagt hast. Lautet das Ergebnis für den Grenzwert [mm] \infty [/mm] ?
Mfg
RWBK
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Hallo nochmal,
> Nochmal danke für deine schnelle antwort.
> Hab das jetzt genauso gemacht wie du gesagt hast. Lautet
> das Ergebnis für den Grenzwert [mm]\infty[/mm] ?
Nein, es kommt eine "schöne" Zahl heraus.
Rechne vor, wie du weitermachst ...
Eine "Anleitung" habe ich dir gesagt (oder eher geschrieben)  ...
Also zeig' mal her
>
> Mfg
> RWBK
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:59 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{(n^{2}+1}-n)=\limes_{n\rightarrow\infty} n*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)
=\limes_{n\rightarrow\infty} n*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)*\bruch{((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}{((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{(n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)*(n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}{(n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}=\rightarrow\infty} n*\bruch{(n+1-n)*(n+1+n)}{(n+1+n)}=\rightarrow\infty} n*\bruch{2x+1}{2x+1}=\rightarrow\infty} n*1=\infty
Wo habe ich einen fehler gemacht?
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:04 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Wie kann ich die erste Frage hier wieder löschen? Das war so nicht geplant.
Mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{(n^{2}+1})-n)=\limes_{n\rightarrow\infty} n*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} n*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)*\bruch{((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}{((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}{((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{(n+1-n)*(n+1+n)}{(n+1+n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{2n+1}{2n+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}n*1=\infty
[/mm]
Wo habe ich einen fehler gemacht?
mfg
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n*(\wurzel{(n^{2}+1}-n)=\limes_{n\rightarrow\infty} n*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} n*((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)*\bruch{((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}{((n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{(n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}-n)*(n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}{(n^{2}+1)^{\bruch{1}{2}}+n)}\red{=}\limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{(n+1-n)*(n+1+n)}{(n+1+n)}=\limes_{n\rightarrow\infty} n*\bruch{2x+1}{2x+1}=\limes_{n\rightarrow\infty}n*1=\infty[/mm]
>
> Wo habe ich einen fehler gemacht?
würde mich mal dringend interessieren, wie du auf das rote Gleichheitszeichen (bzw. auf den Teil da hinter) kommst...
schachuzipus hat doch praktisch schon alles bis auf das Anwenden der dritten binomischen Formel hingeschrieben.
bzw. @ leduart: sicher, dass 0 rauskommt?^^
>
> mfg
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Hallo Schattenmeister,
> bzw. @ leduart: sicher, dass 0 rauskommt?^^
So, wie *ich* das lese, meinte leduart nur den "Teil-"GW des hinteren Ausdrucks ..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hallo,
ist [mm] (n^{2})^{\bruch{1}{2}} [/mm] nicht = n und [mm] 1^{\bruch{1}{2}}=1?
[/mm]
mfg
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Hallo nochmal,
> Hallo,
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> ist [mm](n^{2})^{\bruch{1}{2}}[/mm] nicht = n und [mm]1^{\bruch{1}{2}}=1?[/mm]
Ja schon, aber lass doch das olle Umschreiben in Potenzen, das verwirrt nur.
Rechne so wie vorgeschlagen:
[mm]n\cdot{}(\sqrt{n^2+1}-n) \ = \ \frac{n\cdot{}(\sqrt{n^2+1}-n)\cdot{}(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n} \ = \ \frac{n\cdot{}(n^2+1-n^2)}{\sqrt{n^2\cdot{}(1+1/n^2)}+n}[/mm]
[mm]=\frac{n}{n\cdot{}\sqrt{1+1/n^2}+n} \ = \ \frac{n}{n\cdot{}\left[\sqrt{1+1/n^2}+1\right]} \ = \ \frac{1}{\sqrt{1+1/n^2}+1}[/mm]
Was passiert hier nun für [mm]n\to\infty[/mm] ??
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Fr 19.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Hi wird das nicht dann [mm] \bruch{1}{2}? [/mm] Aber wo hab ich den jetzt einen Fehler gemacht?
mfg
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jupp, [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] sieht gut aus.
Wo dein Fehler in der Gleichung ist siehe oben.
Dein Denkfehler kann ich nur raten, also mach ich das mal:
> ist $ [mm] (n^{2})^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ nicht = n und $ [mm] 1^{\bruch{1}{2}}=1? [/mm] $
Daraus folgere ich mal, dass du gedacht hast: [mm] $\red{(n^2 + 1)^{\frac{1}{2}} = (n^2)^{\frac{1}{2}} + 1^{\frac{1}{2}}}$
[/mm]
betrachtest du dies wieder als Wurzel hättest du damit behauptet:
[mm] $\red{\sqrt{n^2 + 1} = \sqrt{n^2} + \sqrt{1} = n+1}$
[/mm]
Das ist aber (wie du hoffentlich weißt) falsch...
Ist wie gesagt nur geraten, falls das nicht dein Fehler war müsstest du uns mal deine Gedankengänge verraten. ;)
MfG
Schadow
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