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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Do 14.01.2010 | | Autor: | steem |
| Aufgabe | Berechne:
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos({\bruch{\pi}{6}+ \Delta x)+cos(\bruch{\pi}{6})}}{\Delta x}
[/mm]
Benutze dazu ein geeignetes Additionstheorem (ggfs. in einer Formelsammlung nachschlagen).
Zur Lösung der Aufgabe darf, falls benötigt, auch folgende Gleichung benutzt
werden:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 1 |
Irgendwie komme ich hier mit dem Umstellen nicht weiter.
Erstmal habe ich das Additionstheorem angewendet.
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos(\bruch{\pi}{6})*cos(\Delta x)+sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)-cos(\bruch{\pi}{6})}{\Delta x}
[/mm]
Dann wäre es ja sinnvoll, wenn man das [mm] $\Delta [/mm] x$ irgendwie isolieren könnte, nur finde ich keinen Weg dorthin.
Die Brüche getrennt aufschreiben hat mir auch nicht geholfen den nächsten Schritt zu erkennen.
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos(\bruch{\pi}{6})*cos(\Delta x)}{\Delta x}+\bruch{sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)}{\Delta x}-\bruch{cos(\bruch{\pi}{6})}{\Delta x}
[/mm]
So wie es jetzt dasteht, würde alles unendlich groß werden, weil man durch einen unendlich kleinen Wert teilt.
Dieser Teil: [mm] \bruch{sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)}{\Delta x} [/mm] wäre ja aufgrund des Hinweises [mm] sin(\bruch{\pi}{6}), [/mm] oder sehe ich das falsch? Darf man überhaupt den Grenzwert nur für einen Term ausrechnen und den Rest seperat weiterbehandeln?
Hier sähe das z.B. so aus:
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos(\bruch{\pi}{6})*cos(\Delta x)}{\Delta x}+sin(\bruch{\pi}{6})-\bruch{cos(\bruch{\pi}{6})}{\Delta x}
[/mm]
Und wie kriege ich es jetzt hin, dass das [mm] $\Delta [/mm] x$ seperat steht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Do 14.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Berechne:
>
> [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos({\bruch{\pi}{6}+ \Delta x)+cos(\bruch{\pi}{6})}}{\Delta x}[/mm]
>
> Benutze dazu ein geeignetes Additionstheorem (ggfs. in
> einer Formelsammlung nachschlagen).
> Zur Lösung der Aufgabe darf, falls benötigt, auch
> folgende Gleichung benutzt
> werden:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x}[/mm] = 1
> Irgendwie komme ich hier mit dem Umstellen nicht weiter.
>
> Erstmal habe ich das Additionstheorem angewendet.
>
> [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow\infty} \bruch{cos(\bruch{\pi}{6})*cos(\Delta x)+sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)-cos(\bruch{\pi}{6})}{\Delta x}[/mm]
>
> Dann wäre es ja sinnvoll, wenn man das [mm]\Delta x[/mm] irgendwie
> isolieren könnte, nur finde ich keinen Weg dorthin.
> Die Brüche getrennt aufschreiben hat mir auch nicht
> geholfen den nächsten Schritt zu erkennen.
Du kannst aus zwei der Summanden noch etwas ausklammern, vielleicht hilft Dir das ja weiter. Du solltest dann einen Bruch mit "$0/0$" rausbekommen.
> Dieser Teil: [mm]\bruch{sin(\bruch{\pi}{6})*sin(\Delta x)}{\Delta x}[/mm]
> wäre ja aufgrund des Hinweises [mm]sin(\bruch{\pi}{6}),[/mm] oder
> sehe ich das falsch?
Nein, ist richtig, exakt für die Stelle ist der Tipp gedacht.
> Darf man überhaupt den Grenzwert nur
> für einen Term ausrechnen und den Rest seperat
> weiterbehandeln?
Nur, wenn ausser dem Term, in den Du den Grenzwert reinziehst, auch der Rest konvergiert.
> Und wie kriege ich es jetzt hin, dass das [mm]\Delta x[/mm] seperat
> steht?
Was meinst Du mit seperat stehen? Du wirst es nicht hinbekommen, dass im Zähler ein [mm] $\Delta [/mm] x$ ausserhalb des Arguments auftaucht.
Gruß,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Do 14.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo steem!
Hier ist doch mit Sicherheit der Grenzwert [mm] $\Delta x\rightarrow\red{0}$ [/mm] gemeint, oder?!?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 15.01.2010 | | Autor: | steem |
Hi Loddar!
Oh ja da hast du wohl etwas wichtiges entdeckt. [mm] $\Delta [/mm] x$ soll tatsächlich gegen 0 gehen und nicht gegen unendlich.
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