Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Do 07.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
| Aufgabe | Berechne:
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 2}\bruch{\wurzel{2+x}-\wurzel{3x-2}}{\wurzel{4x+1}-\wurzel{5x-1}} [/mm] |
Hallo!
Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht von der Stelle.
Ich habe bereits versucht das x jew. unter der Wurzel auszuklammern, das hat allerdings nicht wirklich viel geholfen, Kann mir bitte jemand einen kleinen Tip für den Ansatz geben?
Danke und gruß
Johannes
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Hallo Johannes,
> Berechne:
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> [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow\ 2}\bruch{\wurzel{2+x}-\wurzel{3x-2}}{\wurzel{4x+1}-\wurzel{5x-1}}$
[/mm]
Hier muss doch x laufen ...
>
> Hallo!
>
> Leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht von der Stelle.
> Ich habe bereits versucht das x jew. unter der Wurzel
> auszuklammern, das hat allerdings nicht wirklich viel
> geholfen, Kann mir bitte jemand einen kleinen Tip für den
> Ansatz geben?
Der übliche Trick, so zu erweitern, dass du im Nenner die 3.binomische Formel erhältst, also mit [mm] $\wurzel{4x+1}\red{+}\wurzel{5x-1}$ [/mm] hilft hier auf den ersten Blick auch nicht weiter.
Wenn du aber die Regel von de l'Hôpital kennst, verwende sie, sie führt schnell zum Ziel.
Leite dazu Zähler und Nenner getrennt ab und schaue dir dann den GW dieses Ausdrucks für [mm] $x\to [/mm] 2$ an ...
Das sollte nach überschlagsmäßiger Rechnung meinerseits gut klappen ...
>
> Danke und gruß
>
> Johannes
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Do 07.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
Hallo!
Danke für die Antwort.
Das mit dem Wurzeltrick habe ich auch ohne Erfolg probiert.
> Wenn du aber die Regel von de l'Hôpital kennst, verwende
> sie, sie führt schnell zum Ziel.
... die hatten wir (offensichtlich leider) noch nicht.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Do 07.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Benutz mal die dritte binomische Formel sowohl für Zähler als auch für Nenner. Dann hast Du sowas dastehen wie
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2} \bruch{(ax+b)-(cx+d)}{(ex+f)-(gx+h)}\bruch{\sqrt{ex+f}+\sqrt{gx+h}}{\sqrt{ax+b}+\sqrt{cx+d}}$
[/mm]
Der zweite Bruch ist konvergent. Wenn der erste auch konvergent ist, konvergiert das Produkt gegen den gesuchten Grenzwert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Do 07.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
Hallo!
Danke - wenn der Grenzwert 3 ist, dann habe ich es raus.
gruß Johannes
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Do 07.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Ich habe -3 raus, vermutlich hat einer von uns einen Vorzeichenfehler gemacht. Schreib mal bitte den Bruch, bei dem die Konvergenz nicht klar ist (also den ohne Wurzeln) auf und vereinfache so weit wie möglich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Do 07.01.2010 | | Autor: | jogi87 |
SO:
[mm] \bruch{4-2x}{2-x} [/mm] dann mit lim [mm] \bruch{-2}{-1}*\bruch{3}{2}
[/mm]
ergibt 3
gruß Johannes
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Do 07.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Mea culpa, der Vorzeichenfehler war bei mir ^^;
Die richtige Argumentation ist übrigens, $(2-x)$ auszuklammern und zu kürzen und dann den Limes auszuführen, wie Du auf [mm] $\bruch{-2}{-1}$ [/mm] kommst, kann ich gerade nicht 100% nachvollziehen.
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