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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mo 21.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo und zwar mein Problem ist folgende Aufgabe.
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{sin x}{sin 3x}
[/mm]
Ich weis das [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{sinx}{x}=1 [/mm] ist. Aber wie forme ich nun die Aufgabe da oben in diese Form um?
grüße und danke für die Hilfe.
zaaaq
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo zaaaq!
> Hallo und zwar mein Problem ist folgende Aufgabe.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \ \bruch{\sin x}{\sin 3x}[/mm]
Ich nehme mal an, Du meinst hier natürlich: [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow 0} [/mm] \ [mm] \bruch{\sin(x)}{\sin(3x)}$
[/mm]
Du kannst hier auf zwei Wegen vorgehen:
Variante 1
Da für $x [mm] \to [/mm] 0$ der Ausdruck [mm] "$\bruch{0}{0}$" [/mm] entsteht, kannst Du mit dem  Grenzwertsatz nach de l'Hospital arbeiten.
Variante 2
Der elegantere Weg wäre eine Umformung von [mm] $\sin(3x)$ [/mm] nach folgender Formel:
[mm] $\sin(3x) [/mm] \ = \ [mm] 3*\sin(x) [/mm] - [mm] 4*\sin^3(x)$
[/mm]
Hier kann man dann [mm] $\sin(x)$ [/mm] ausklammern ...
Kommst Du nun alleine weiter?
Poste doch mal Dein Ergebnis zur Kontrolle, wenn Du möchtest ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 21.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo Loddar.
Ich versteh nicht wie du auf diesen Ausdruck für sin(3x) kommst.
grüße zaaaq
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:56 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo zaaaq!
Da muß ich gestehen, diese Formel für [mm] $\sin(3x)$ [/mm] habe ich aus meiner Formelsammlung ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]") ...
Aber mit den Additionstheorem läßt sich diese Formel auch herleiten:
[mm] [center]$\sin(x [/mm] + y) \ = \ [mm] \sin(x)*\cos(y) [/mm] + [mm] \cos(x)*\sin(y)$[/center]
[/mm]
Wenn Du Dir zunächst [mm] $\sin(2x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(x [/mm] + x) \ = \ ...$ berechnest und anschließend dieselbe Formel nochmals anwendest mit
[mm] [center]$\sin(3x) [/mm] \ = \ [mm] \sin(x [/mm] + 2x) \ = \ ...$ ,[/center]
solltest Du dann meine oben genannte Formel für [mm] $\sin(3x)$ [/mm] erhalten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mo 21.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hi Loddar,
Ich komm zwar nicht richtig mit dem sin³(x) klar weil ich nicht weis was man sich darunter vorstellen soll (sin(sin(sin(x))))???) Aber ich will es mal versuchen.
[mm] \bruch{sin(x)}{3*sin(x)-4*sin³(x)} [/mm] = [mm] \bruch{sinx}{sin(x)(3-4sin²(x))}
[/mm]
3-4sin²(x)
Nun keine Ahnung was ich mit dem sin² machen soll....
bin für jede Hilfe dankbar
grüße zaaaq.
P.S.: Ich habe auch eine Kerze in der Hand ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Nam |
Nun, du kannst ja kürzen:
[mm]\frac{sin(x)}{sin(x)(3 - 4 sin^2(x))} = \frac{1}{3 - 4 sin^2(x)}[/mm]
Nun gegen 0 laufen lassen:
[mm]\limes_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3 - 4 sin^2(x)} = \frac{1}{3 - 4 sin^2(0)} = \frac{1}{3 - 4 * 0} = \frac{1}{3}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mo 21.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
damit du dir darunter was vorstellen kannst: [m] \sin^3x [/m] ist nach definition einfach das selbe wie [m] (\sin x)^3 = \sin x \cdot \sin x \cdot \sin x [/m] und wird durch die rote kurve in folgendem plot dargestllt (die grüne kurve ist der gewöhnliche sinus):
[Dateianhang nicht öffentlich]
grüße
andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 21.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Argh das hätt ich sehen müssen... . Vielen Dank euch beiden für eure Mühe!!!
Danke!!
grüße zaaaq
P.S.: wie wäre es nun eigentlich mit der Formel :
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{sin(x)}{x} [/mm] = 1
gegangen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Di 22.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen zaaaq!
> P.S.: wie wäre es nun eigentlich mit der Formel :
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\sin(x)}{x}[/mm] = 1 gegangen?
Auch hier gäbe es wieder (mind.) zwei Wege:
Weg 1
Bestimmung mit Grenzwertsatz nach de l'Hospital, da für $x [mm] \to [/mm] 0$ der Ausdruck [mm] $\bruch{\sin(0)}{0} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{0}$ [/mm] entsteht.
Weg 2
Einen geometrischen Ansatz findest Du hier ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:57 Di 22.03.2005 | | Autor: | zaaaq |
Hallo Loddar,
genau das wollte ich wissen. Danke!
grüße zaaaq
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
