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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die ganze Zahl a , für die gilt: [mm] a=100*\limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{1-cos(\bruch{x}{2})}{1-cos(x)}) [/mm] |
So, ich habe da mehrfach rumgerechnet und immer als Lösung a=0 rausbekommen. - Das ist aber laut Lösungsbuch nicht richtig .... Kann mir jemand beim Lösen der Aufgabe helfen?
Vielen Dank im Voraus!! =)
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Hallo Martin,
> Bestimmen Sie die ganze Zahl a , für die gilt:
> [mm]a=100*\limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{1-cos(\bruch{x}{2})}{1-cos(x)})[/mm]
>
>
> So, ich habe da mehrfach rumgerechnet und immer als Lösung
> a=0 rausbekommen. - Das ist aber laut Lösungsbuch nicht
> richtig .... Kann mir jemand beim Lösen der Aufgabe
> helfen?
Das Hauptproblem ist ja, diesen Limes zu berechnen.
Da bei direktem Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ der unbestimmte Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] herauskommt, bietet sich die Regel von de l'Hôpital an.
So wie ich das auf die Schnelle sehe, musst du selbige Regel zweimal anwenden ...
>
> Vielen Dank im Voraus!! =)
LG
schachuzipus
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Also ich war mir nicht sicher, ob ich einfach den Zähler und Nenner getrennt betrachten kann ..... Falls ja ergäbe sich mit
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\limes_{x\rightarrow\\0}\bruch{f''(x)}{g''(x)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{1-cos(\bruch{x}{2})}{1-cos(x)})=\limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{sin(\bruch{x}{2})}{2*sin(x)})=\limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{cos(\bruch{x}{2})}{4*cos(x)})
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Falls ja, ergäbe sich im weiteren:
[mm] a=100*\limes_{x\rightarrow\\0}(\bruch{cos(\bruch{0}{2})}{4*cos(0)})=100*((\bruch{1}{4*1})=25
[/mm]
Ist das so richtig, oder habe ich da irgendwo einen Fehler?
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Hallo nochmal,
> Also ich war mir nicht sicher, ob ich einfach den Zähler
> und Nenner getrennt betrachten kann ..... Falls ja ergäbe
> sich mit
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\\0}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{n\rightarrow\\0}\bruch{f'(x)}{g'(x)}=\limes_{n\rightarrow\\0}\bruch{f''(x)}{g''(x)}[/mm]
>
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\\0}(\bruch{1-cos(\bruch{x}{2})}{1-cos(x)})=\limes_{n\rightarrow\\0}(\bruch{sin(\bruch{x}{2})}{2*sin(x)})=\limes_{n\rightarrow\\0}(\bruch{cos(\bruch{x}{2})}{4*cos(x)})[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
> Falls ja, ergäbe sich im weiteren:
>
> [mm]a=100*\limes_{n\rightarrow\\0}(\bruch{cos(\bruch{0}{2})}{4*cos(0)})=100*((\bruch{1}{4*1})=25[/mm]
>
> Ist das so richtig, oder habe ich da irgendwo einen
> Fehler?
Nein, das sieht sehr gut aus!
Wenn du nur noch überall statt [mm] $n\to [/mm] 0$ [mm] $x\to [/mm] 0$ schreibst ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 28.12.2008 | | Autor: | Martin1988 |
:-D Stimmt! Änder ich gleich mal noch um!
Vielen Dank!!! =)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 So 28.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Man kann hier auch alternativ ein ![[]](/images/popup.gif) Additionstheorem anwenden und etwas abwandeln.
Es gilt:
[mm] $$\cos(2*x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos^2(x)-1$$
[/mm]
Daraus wird auch:
[mm] $$\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos^2\left(\bruch{x}{2}\right)-1$$
[/mm]
Setze dies im Nenner ein und fasse zusammen.
Anschließend kann man nach Anwendung der 3. binomische Formel kürzen.
Gruß
Loddar
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