Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo dreh gerade bissl durch mit Grenzwertaufgaben und zwar wüsst ich gerne ob es bestimmte tricks gibt, ich hab hier mal vier verschiedene Modelle:
a) ( [mm] \bruch{3k^{2}-k+5k^{3}}{10k^{2}-4k+1} [/mm] hier ist klar ich teile durch die höchste Potenz um auf den GW zu kommen
b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{8k^{2}-2} [/mm] hier komme ich bereits nicht weiter, was ist der einfachst eweg, was muss man sehen?
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{2^{k}} [/mm] auch hier ein großes Fragezeichen
d) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!} [/mm] und hier muss ich ja sehen, dass mich die Potenzreihe auf die e-Funktion führt und der GW [mm] e^{-1} [/mm] hier wäre
bitte um Tips wie man am besten an solche aufgaben rangeht, jede ist anders!
lg Surfer
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> Hallo dreh gerade bissl durch mit Grenzwertaufgaben und
> zwar wüsst ich gerne ob es bestimmte tricks gibt, ich hab
> hier mal vier verschiedene Modelle:
>
> a) ( [mm]\bruch{3k^{2}-k+5k^{3}}{10k^{2}-4k+1}[/mm] hier ist klar
> ich teile durch die höchste Potenz um auf den GW zu kommen
Es wäre eine gute Idee, ausdrücklich zu schreiben, nach welchem Grenzwert gefragt ist. Da der Nenner keine reellen Nullstellen besitzt nehme ich an, dass Du den Grenzwert dieses Ausdruckes für [mm] $k\rightarrow \pm \infty$ [/mm] bestimmen musst:
[mm]\lim_{k\rightarrow \pm\infty}\bruch{3k^{2}-k+5k^{3}}{10k^{2}-4k+1}=\lim_{k\rightarrow \pm\infty}\bruch{3-\frac{1}{k}+5k}{10-\frac{4}{k}+\frac{1}{k^2}}=\lim_{k\rightarrow \pm\infty}\bruch{3+5k}{10}=\pm \infty[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{8k^{2}-2}[/mm] hier komme ich
> bereits nicht weiter, was ist der einfachst eweg, was muss
> man sehen?
Partialbruchzerlegung
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{8k^{2}-2}=\frac{1}{4}\cdot\summe_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)[/mm]
die Summe [mm] $\sum\left(\ldots\right)$ [/mm] auf der rechten Seite ist eine "Teleskopsumme", hat also den Wert [mm] $\frac{1}{2\cdot 1-1}=1$.
[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{2^{k}}[/mm] auch hier
> ein großes Fragezeichen
Geometrische Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty q^k=\frac{q}{1-q}$, [/mm] sofern $|q|<1$. Also in diesem Spezialfall
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{2^{k}}=\summe_{k=1}^\infty \left(-\bruch{1}{2}\right)^k}=\frac{-\frac{1}{2}}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=-\frac{1}{3}[/mm]
>
> d) [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{k!}[/mm] und hier muss
> ich ja sehen, dass mich die Potenzreihe auf die e-Funktion
> führt und der GW [mm]e^{-1}[/mm] hier wäre
stimmt.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:08 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Kyrill |
Hallo,
die unendlich Geometrische Reihe ist nicht
> Geometrische Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty q^k=\frac{q}{1-q}[/mm],
Sondern: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
So das hier herauskommt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-\bruch{1}{2})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-(-\bruch{1}{2})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{3}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Gruß
Kyrill
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:13 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo,
>
> die unendlich Geometrische Reihe ist nicht
>
> > Geometrische Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty q^k=\frac{q}{1-q}[/mm],
>
> Sondern: [mm]\summe_{k=1}^{\infty} q^k[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
Nein, dies ist nicht richtig, weil bei dieser geometrischen Reihe die untere Grenze $k=1$ war. Es gilt aber natürlich, bei Summation ab $k=0$, dass [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$.
[/mm]
>
> So das hier herauskommt:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-\bruch{1}{2})^k[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{1-(-\bruch{1}{2})}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1+\bruch{1}{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\bruch{3}{2}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Weil ab $k=1$ (und nicht etwa ab $k=0$) summiert wurde.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 12:10 Di 24.06.2008 | | Autor: | Kyrill |
Ohja, sorry. Das habe ich leider überlesen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Bei der b) muss ich nochmal nachhacken wie du vorgehst um auf den Vorfaktor [mm] \bruch{1}{4} [/mm] zu kommen und wie auf die Teleskopsumme! Bitte um erklärung, habe so noch mal so ne ähnlich Aufgabe vorliegen, die ich selber dann probieren möchte!
Außerdem wollte ich fragen wie du bei der Reihe: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{2}{4^{k}} [/mm] vorgehen würdest?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
wie oben schon steht, das ist ne hausgemachte PBZ:
Du kannst [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{8k^2-2}$ [/mm] schreiben als [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)\cdot{}(2k-1)}$
[/mm]
Nun den Ansatz:
[mm] $\frac{1}{(2k+1)\cdot{}(2k-1)}=\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{A\cdot{}(2k-1)+B\cdot{}(2k+1)}{4k^2-1}=\frac{k\cdot{}(2A+2B)+(B-A)}{4k^2-1}$
[/mm]
Nun im Zähler den üblichen Koeffizientenvgl. machen und nach A,B auflösen:
$2A+2B=0 [mm] \wedge [/mm] B-A=1$
Dann kannst du deine Summe [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^2-1}$ [/mm] schreiben als [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)$
[/mm]
Das berechne nun mal ...
Zur anderen Frage: Schreibe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{2}{4^k}=2\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^k$
[/mm]
Stichwort: geometrische Reihe! Aber Achtung mit dem Laufindex, der geht hier bei k=1 los
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Surfer |
No ne kurze Verständnisfrage bei Folgen, wie bei der a) teile ich doch durch die höchste Potenz, wieso teile ich hier durch [mm] k^{2} [/mm] und nicht durch [mm] k^{3}? [/mm] denn [mm] k^{3} [/mm] ist doch eigentlich die höchste potenz, oder zählt nur die höchste potenz aus dem nenner?
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Sa 21.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum probierst du sowas nicht aus. Was passiert, wenn du durch [mm] k^3 [/mm] teilst? Schadet es? nützt es?
Immer erst selber rumprobieren, dann fragen, sonst schwindet dein Selbstvertrauen mit unseren Antworten. Wir denken nämlich auch meist erst nach!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 So 22.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ja gut, wenn ich durch [mm] k^{3} [/mm] teile komme ich auf 5 geteilt durch 0 und da ist ja wieder divergent unendlich!
also wurscht oder?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 So 22.06.2008 | | Autor: | leduart |
ja
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:27 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi, danke erstmal für die Erklärung,
> Nun im Zähler den üblichen Koeffizientenvgl. machen und
> nach A,B auflösen:
>
> [mm]2A+2B=0 \wedge B-A=1[/mm]
>
> Dann kannst du deine Summe
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{4k^2-1}[/mm]
> schreiben als
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)[/mm]
>
> Das berechne nun mal ...
>
Wie soll ich das berechnen? Hier ist der Punkt an dem ich nicht weiterkomme, wie komme ich dazu die 1/2 noch rauszuziehen, damit ich 1/4 habe?
lg Surfer
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Hallo nochmal,
ich verstehe deine Frage nicht?!
Habe ich das unverständlich erklärt?
Du kannst doch wohl das Gleichungssystem
(I) $2A+2B=0$
(II) $B-A=1$
lösen können ?!
Damit hast du dein A und B für die o.e. Summendarstellung.
Du wirst sehen, dass [mm] $A=-\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $B=\frac{1}{2}$ [/mm] herauskommt
Damit hast du dann [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{8k^2-2}=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)=\frac{1}{2}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{-\frac{1}{2}}{2k+1}+\frac{\frac{1}{2}}{2k-1}\right)=\frac{1}{4}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$
[/mm]
Nun ist ja [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$
[/mm]
Schreibe dir also mal solch eine n-te Partialsumme [mm] $S_n$ [/mm] auf - das wird die erwähnte Teleskopsumme, in der sich vieeeeeel weghebt.
Dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Aber das [mm] $\cdot{}\frac{1}{4}$ [/mm] nachher nicht vergessen 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Sa 21.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Ok danke,
d.h. ich lasse den Teil hier gegen unendlich laufen, dann fällt das zeug ja auch weg oder meintest du für k = n setzen? und dann auf Hauptnenner bringen und ausrechnen oder wie?
:
> Nun ist ja
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}S_n[/mm]
>
Sorry für die wahrscheinlich blöden Fragen, aber ganz klar ist mir das noch nicht wie sich alles weghebt!
lg Surfer
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Hallo nochmal,
> Ok danke,
> d.h. ich lasse den Teil hier gegen unendlich laufen, dann
> fällt das zeug ja auch weg oder meintest du für k = n
> setzen? und dann auf Hauptnenner bringen und ausrechnen
bloß nicht, wir habe die ganze Rödelei mit der PBZ doch extra gemacht, um diese "nette" Summe hinzubekommen, wieso also wieder gleichnamig machen und alles zurückschreiben?
> oder wie?
> :
> > Nun ist ja
> >
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}S_n[/mm]
Der Grenzwert der Reihe oder Reihenwert ist ja der Grenzwert der Partialsummen(-folge)
Also [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}a_k\right)=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$
[/mm]
Nun schreibe mal eine solche n-te Partialsumme [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)$ [/mm] hin:
Das ist doch [mm] $S_n=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+.....+\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}\right)+\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$
[/mm]
Du siehst, dass sich immer der zweite Summand aus einer Klammer gegen den ersten Summanden der nächsten Klammer weghebt zu 0, es bleibt also
[mm] $S_n=1-\frac{1}{2n+1}$
[/mm]
Und das strebt für [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen 1
Also ist der Reihenwert [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{8k^2-2}=\frac{1}{4}\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)=\frac{1}{4}\cdot{}1=\frac{1}{4}$
[/mm]
> Sorry für die wahrscheinlich blöden Fragen, aber ganz klar
> ist mir das noch nicht wie sich alles weghebt!
>
> lg Surfer
LG
schachuzipus
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