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Hallo. Ich habe ein kleines Problem zu 2 Aufgaben:
Bestimmen Sie, falls vorhanden den Grenzwert:
[mm] a)\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel{x^2+1}}{x+1}
[/mm]
[mm] b)\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\wurzel{x}}{|x|}
[/mm]
Ich habe von oben bis unten alles Methoden probiert. Auch die von L'hospital. Aber keine bringt mich auf die richtige Lösung. Könntet ihr mir bitte helfen??? Wäre sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Bei der ersten Aufgabe mal in Zähler und Nenner jeweils $x_$ ausklammern und kürzen.
Bei der 2. Aufgabe kannst Du zunächst die Betragsstriche weglassen, da [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] sowieso nur für positive x definiert ist. Anschließend den Term mittels  Potenzgesetz zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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a) Das mit den Ausklammern ist ja klar. Aber wie sieht das dann für den Zähler aus? Wegen der Klammer! :-(
b) [mm] \bruch{x}{|x|}=\bruch{x}{\wurzel{x^2}}=\bruch{x}{x} [/mm] Da x nun gegen 0 geht, müsste dort stehen [mm] \bruch{0}{0} [/mm] Kann ich nun L'hospital anwenden??? Also: [mm] \bruch{1}{2x}??? [/mm] Denn das ist ja auch nicht definiert!!!
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Hallo domenigge,
> a) Das mit den Ausklammern ist ja klar. Aber wie sieht das
> dann für den Zähler aus? Wegen der Klammer! :-(
klammere zunächst unter der Wurzel [mm] $x^2$ [/mm] aus und zeihe es dann raus:
[mm] $\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2\cdot{}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=x\cdot{}\sqrt{...}$
[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{x}{|x|}=\bruch{x}{\wurzel{x^2}}=\bruch{x}{x}[/mm]
Wo ist denn die Wurzel aus dem Zähler hin?
[mm] $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}}{|x|}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}}{x}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^1}=...$
[/mm]
> Da x nun gegen 0 geht, müsste dort stehen [mm]\bruch{0}{0}[/mm] Kann ich
> nun L'hospital anwenden??? Also: [mm]\bruch{1}{2x}???[/mm] Denn das
> ist ja auch nicht definiert!!!
LG
schachuzipus
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Oh Sorry... Das war dann wohl mein Fehler. Da steht: [mm] \limes_{x\rightarrow\0}\bruch{x}{|x|} [/mm] und nicht das, was ich zu Anfang geschrieben habe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Domenigge,
> Oh Sorry... Das war dann wohl mein Fehler. Da steht:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x}{|x|}[/mm] und nicht das, was
> ich zu Anfang geschrieben habe!!!
1. Fall: Es sei $x > 0$.
Was ist dann [mm] $\frac{x}{|x|}$?
[/mm]
2. Fall: Es sei $x < 0$:
Was ist dann [mm] $\frac{x}{|x|}$?
[/mm]
Beachte:
[mm] $|x|=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}$
[/mm]
Was folgt daraus für
[mm] $\lim_{x > 0 \mbox{ und } x \to 0}\frac{x}{|x|}$?
[/mm]
Was folgt daraus für
[mm] $\lim_{x < 0 \mbox{ und } x \to 0}\frac{x}{|x|}$?
[/mm]
Folgerung:
Kann [mm] $\lim_{x \to 0} \frac{x}{|x|}$ [/mm] dann existieren?
Zur Kontrolle auch mal ein Schaubild des Graphen der Funktion [mm] $f(x)=\frac{x}{|x|}$ [/mm] ($x [mm] \in \IR \backslash\{0\}$):
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Gut dann erhalte ich einmal 1 und einmal -1 als Ergebnis. Das hat erstens nichts mit stetigkeit zu tun. Somit kann es dann wohl keinen Grenzwert geben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Richtig erkannt ...
Gruß
Loddar
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Na dann bin ich ja erleichtert. Ich habe allerdings noch ein kleines Problem, bei dem ich irgendwie mit diesem Standarttrick oder L'Hospital nicht weiterkam. Und zwar die Aufgabe: [mm] \limes_{x\rightarrow\1}\bruch{1}{1-x}-\bruch{3}{1-x^2}
[/mm]
Gibt es hier auch einen Trick???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Fr 14.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Na dann bin ich ja erleichtert. Ich habe allerdings noch
> ein kleines Problem, bei dem ich irgendwie mit diesem
> Standarttrick oder L'Hospital nicht weiterkam. Und zwar die
> Aufgabe:
> [mm]\limes_{x\rightarrow 1}\bruch{1}{1-x}-\bruch{3}{1-x^2}[/mm]
>
> Gibt es hier auch einen Trick???
ja (bei dem Limes bitte keinen Backslash vor die Zahl schreiben, sonst erscheint anstatt [mm] $\lim_{x \to 1}$ [/mm] dort [mm] $\lim_{x \to \1}$, [/mm] d.h. die Zahl $1$ unter dem Limes-Symbol ist nicht sichtbar). Der Trick heißt: Terme zusammenfassen 
[mm] $\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^2}=\frac{1+x}{1-x^2}-\frac{3}{1-x^2}=\frac{x-2}{1-x^2}$
[/mm]
Für $x [mm] \to [/mm] 1$ (egal, ob $x > 1$, $x < 1$) strebt der Zähler $x-2$ gegen $-1$.
Der Nenner:
Für $x < 1$ und $x [mm] \to [/mm] 1$ ist stets [mm] $1-x^2 [/mm] > 0$ und strebt gegen $0$, d.h.:
[mm] $\lim_{x < 1 \mbox{ und } x \to 1} \frac{x-2}{1-x^2}=-\infty$ [/mm]
(Symbolisch begründe ich das mal so: " [mm] $\frac{-1}{+0}=-\infty$ [/mm] ")
Analog:
Für $x > 1$ und $x [mm] \to [/mm] 1$ ist stets [mm] $1-x^2 [/mm] < 0$ und strebt gegen $0$, d.h.:
[mm] $\lim_{x > 1 \mbox{ und } x \to 1} \frac{x-2}{1-x^2}=\infty$ [/mm]
(Symbolisch begründe ich das mal so: " [mm] $\frac{-1}{-0}=\infty$ [/mm] ")
Frage:
Kann [mm] $\lim_{x \to 1} \bruch{1}{1-x}-\bruch{3}{1-x^2}=\lim_{x \to 1}\frac{x-2}{1-x^2}$ [/mm] existieren?
Gruß,
Marcel
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