Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mi 09.01.2008 | | Autor: | gandhi8 |
| Aufgabe | Muss den Grenzwert berechen:
[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}} [/mm] |
habs mit lHôpital versucht:
[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}} [/mm] = (lHôpital) [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}*\bruch{\alpha}{x}-x^{\beta}*\bruch{\beta}{x}}{x^{\bruch{1}{\beta}} *\bruch{1}{\beta*x}-x^{\bruch{1}{\alpha}}*\bruch{1}{\alpha*x}}
[/mm]
lHôpital hilft mir auch nicht weiter.
laut mein Matheprogramm sollte da a*b rauskommen, was ich aber mit lHôpital nicht erhalte. Habe ich mich irgendwo verrechnet oder muss ich noch mal Zähler und Nenner getrennt ableiten?
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Sa 12.01.2008 | | Autor: | gandhi8 |
Hallo schachuzipus ,
> [mm]Z=x^{\alpha}-x^{\beta}\Rightarrow Z'=\alpha\cdot{}x^{\alpha-1}-\beta\cdot{}x^{\beta-1}[/mm]
>
> [mm]N=x^{\frac{1}{\beta}}-x^{\frac{1}{\alpha}}\Rightarrow N'=\frac{1}{\beta}\cdot{}x^{\frac{1}{\beta}-1}-\frac{1}{\alpha}\cdot{}x^{\frac{1}{\alpha}-1}[/mm]
Ich hatte es auch zuerst so gehabt, nur hab mich irgendwo verrechnet gehabt, deshalb habe ich versucht Zaähler und Nenner auf eine andere Weis abzuleiten.
> > [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}}[/mm]
> > = (lHôpital) [mm]\limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}*\bruch{\alpha}{x}-x^{\beta}*\bruch{\beta}{x}}{x^{\bruch{1}{\beta}} *\bruch{1}{\beta*x}-x^{\bruch{1}{\alpha}}*\bruch{1}{\alpha*x}}[/mm]
>
> Mich deucht, du hast Zähler und Nenner nicht richtig
> abgeleitet:
Wenn ich mich nicht irre, stimmt die Ableitung schon, den:
[mm] x^{a} [/mm] = [mm] e^{a*lnx}
[/mm]
[mm] (x^{a})' [/mm] = [mm] x^{a} \bruch{a}{x}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}-x^{\beta}}{x^{\bruch{1}{\beta}}-x^{\bruch{1}{\alpha}}} [/mm] = (lHôpital) [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{x^{\alpha}*\bruch{\alpha}{x}-x^{\beta}*\bruch{\beta}{x}}{x^{\bruch{1}{\beta}} *\bruch{1}{\beta*x}-x^{\bruch{1}{\alpha}}*\bruch{1}{\alpha*x}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{a-b}{\bruch{1}{b}-\bruch{1}{a}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow1} \bruch{a-b}{\bruch{a-b}{ab}} [/mm] = ab
Gruß
gandhi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo gandhi!
Deine Ableitungen zu [mm] $x^a$ [/mm] hast Du schon richtig ermittelt; allerdings sehr umständlich.
Viel schneller geht es mit der  Potenzregel:
[mm] $$\left( \ x^a \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] a*x^{a-1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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