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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenschar [mm] f_p(x)= \bruch{log_2X-p}{p* \cdot \* x}
[/mm]
skizzieren Sie den Graphen [mm] f_2 [/mm] für p=2; Untersuchen Sie zur Anfertigung der Skizze die Funktion auf Nullstellen, Pole und (anhand von Funktionswertberechnungen) eventuell mögliche Grenzwerte für x gegen unendlich. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, wenn ich den Zähler gleich Null setze, sollte 10 die Nullstelle sein. Aber wenn [mm] 2^p=x [/mm] die Nullstelle sein soll bekomme ich 4 raus, dort befindet sich aber keine. 10 habe ich durch probieren rausbekommen. Was hab ich falsch gemacht? An der Stelle [mm] x_p=o [/mm] habe ich einen Pol rausbekommen. Ist das richtig? Das ist ja die Nennernullstelle oder?
Ich weiß auch nicht genau, wie ich die Funktionswertberechnung durchführen muss, eigentlich muss ich mich doch der Definitionslücke, die o ist, von beiden Seiten Nähern oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Do 15.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Chrissi,
> Gegeben sei die Funktionenschar [mm] $f_p(x)= \bruch{\log_2{x}-p}{p\cdot x}$.
[/mm]
>
> Skizzieren Sie den Graphen [mm]f_2[/mm] für $p=2$;
> Untersuchen Sie zur
> Anfertigung der Skizze die Funktion auf Nullstellen...
> Also, wenn ich den Zähler gleich Null setze, sollte $10$ die
> Nullstelle sein.
Warum? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Aber wenn [mm]x=2^p[/mm] die Nullstelle sein soll,
> bekomme ich $4$ raus, dort befindet sich aber keine.
Doch, die Funktion [mm] $f_2$ [/mm] ist dort Null!
> 10 habe ich durch probieren rausbekommen. Was hab ich falsch
> gemacht?
Das weiß ich auch nicht: [mm] $\log_2{4}-2=0$. [/mm] 
> Untersuchen Sie zur
> Anfertigung der Skizze die Funktion auf Pole
> und (anhand von Funktionswertberechnungen) eventuell
> mögliche Grenzwerte für x gegen unendlich.
> An der Stelle [mm]x=0[/mm] habe ich einen Pol
> rausbekommen. Ist das richtig? Das ist ja die
> Nennernullstelle oder?
Es ist auch eine Nennernullstelle, aber aufgrund des Logarithmus im Zähler ist ohnehin der Defintionsbereich auf die positiven reellen Zahlen eingeschränkt. Wegen des Logarithmus geht die Funktion (von rechts kommend) nach [mm] $-\infty$.
[/mm]
> Ich weiß auch nicht genau, wie ich die
> Funktionswertberechnung durchführen muss, eigentlich muss
> ich mich doch der Definitionslücke, die $0$ ist, von beiden
> Seiten nähern, oder?
Es ist ja keine Definitionslücke, sondern einer der beiden Ränder des Definitionsbereichs. Das Verhalten am anderen Rand [mm] ($\infty)$ [/mm] kannst du übrigens mit der  L'Hospitalschen Regel herausfinden.
Soweit klar? Ansonsten bitte nochmal nachfragen! 
MFG,
Yuma
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Also, die Funktion versucht doch praktisch an den Grenzwert zu kommen, kommt aber nicht ran oder? (Blöd ausgedrückt aber verständlich, wenn es so ist), demnach müsste der Grenzwert doch 0 sein, denn Funktion kommt von rechts und geht dann (auf der rechten Seite) in den minus bereich. Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 15.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Chrissi,
> Also, die Funktion versucht doch praktisch an den Grenzwert
> zu kommen, kommt aber nicht ran oder? (Blöd ausgedrückt
> aber verständlich, wenn es so ist), demnach müsste der
> Grenzwert doch 0 sein, denn Funktion kommt von rechts und
> geht dann (auf der rechten Seite) in den minus bereich.
> Oder?
Der Grenzwert [mm] $\lim_{x\to\infty}{f_2(x)}$ [/mm] ist Null, das ist richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber was meinst du genau mit "geht in den Minusbereich"?
Die Funktion "kommt" von [mm] $-\infty$, [/mm] schneidet bei $x=4$ die $x$-Achse, erreicht ihr Maximum ungefähr bei $x=11$ und fällt dann gaaaaanz langsam gegen Null.
Aber das ist ja nur eine anschauliche Beschreibung - das kann man aus dem Funktionsterm nicht "ersehen"... kennst du die Regel von L'Hospital?
Damit kann man richtig beweisen, dass der Grenzwert Null ist...
MFG,
Yuma
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Die Regel von L'Hospital hab ich mir angesehen aber nicht wirklich verstanden. Mathe is nicht wirklich mein Fach. Kannst du mir das besser erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Do 15.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Chrissi,
> Die Regel von L'Hospital hab ich mir angesehen aber nicht
> wirklich verstanden. Mathe is nicht wirklich mein Fach.
> Kannst du mir das besser erklären?
Ich geb' dir hier mal eine kurze (auch etwas unmathematische) Form:
Wir haben ja hier eine Funktion, die die Form [mm] $\frac{g(x)}{h(x)}$ [/mm] hat, nämlich mit [mm] $g(x)=\log_2{x}-p$ [/mm] und [mm] $h(x)=p\cdot [/mm] x$.
Es ist unter bestimmten Voraussetzungen (und die sind hier erfüllt!) möglich, den Grenzwert [mm] $\lim_{x\to\infty}{\frac{g(x)}{h(x)}}$ [/mm] folgendermaßen zu errechnen:
[mm] $\lim_{x\to\infty}{\frac{g(x)}{h(x)}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{g'(x)}{h'(x)}}$.
[/mm]
Das bedeutet, man betrachtet einfach jeweils die Ableitung der Funktionen $g$ und $h$. Kannst du Zähler und Nenner ableiten?
Ich verrate mal das Ergebnis: [mm] $g'(x)=\frac{1}{x\cdot\ln{2}}$ [/mm] und $h'(x)=p$.
Und daher ist
[mm] $\lim_{x\to\infty}{\frac{g(x)}{h(x)}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{g'(x)}{h'(x)}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{\frac{1}{x\cdot\ln{2}}}{p}}=\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{p\cdot x\cdot\ln{2}}}=\frac{1}{p\cdot\ln{2}}\cdot\lim_{x\to\infty}{\frac{1}{x}}=0$.
[/mm]
Ich hoffe, wenigstens etwas Licht ins Dunkle gebracht zu haben.
Frag' bitte nochmal nach, wenn dir etwas unklar geblieben ist, ok?
MFG,
Yuma
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Ok, das hab ich jetzt soweit erstmal verstanden. Ableiten kann ich, ok. Aber nochmal zurück auf diese [mm] f_2(x), [/mm] was soll ich mit dieser zwei machen, ich bekomme einfach die Nullstelle bei 4 nicht raus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Do 15.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Chrissi,
> Ok, das hab ich jetzt soweit erstmal verstanden. Ableiten
> kann ich, ok.
Ich hoffe, du hast Verständnis dafür, dass ich dir auf die Schnelle nicht alle Einzelheiten der L'Hospitalschen Regel erklären konnte...
> Aber nochmal zurück auf diese [mm]f_2(x),[/mm] was
> soll ich mit dieser zwei machen, ich bekomme einfach die
> Nullstelle bei 4 nicht raus.
Das müssen wir dann wohl ausdiskutieren...
Nein, im Ernst, wo ist das Problem? Wenn du $x=4$ einsetzt, kommt doch im Zähler Null heraus, oder nicht? Liegt das Problem vielleicht in einer Fehlbedienung des Taschenrechners begründet?
Die allgemeine Nullstelle [mm] $x=2^p$ [/mm] hast du doch richtig berechnet und mir auch bestätigt, dass für $p=2$ dabei $4$ herauskommt - oder nicht?
MFG,
Yuma
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Ok, dann liegt es an meinem Taschenrechner. Sorry. Ich hätte da noch eine Aufgabe, die ich gemacht hab. Hab´s sie schon fertig gelöst. Kannst du dir die mal anschauen? Ich schreib sie gleich.
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