Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo ihr !
Repetitorium der Höheren Mathematik Seite.331 d), i)
Ich wollte gerne wissen wieso d) [mm] \bruch{\wurzel[n]{n!}}{n} [/mm] für [mm] n->\infty [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{e} [/mm] geht
außerdem
i) [mm] \wurzel[n]{3^{n}+5^{n}} [/mm] ------>5 ?, weil [mm] 5=\wurzel[n]{5}\le\wurzel[n]{3^{n}+5^{n}}\le\wurzel[n]{2*5^{n}}=\wurzel[n]{2}*5->5
[/mm]
wie kommt man den auf sowas ?Kann mir jemand auch so allgemeine Tipps geben wann abschätzen überhaupt nötig,bzw. sinvoll ist, das ist für mich wie Lotto...schätz ich mal ;)
bin noch über die h) gestolpert bei der sich mir ein generelles Problem stellt, ich frage mich ob man die Höchste Potenz des Zählers oder Nenners ausklammert bei Aufgaben solchen Types ?Das ist unterschiedlich erklärt.
h) [mm] an=\bruch{n+1}{\wurzel{n²+3n+1}+\wurzel{n²+2n}} [/mm] was nun ausklammern n(Zähler) oder n²(Nenner) hm ?
Danke
|
|
| |
|
Wie man den ersten Grenzwert einsehen kann, hängt von deinen Vorkenntnissen ab. Ich versuche es einmal mit Integralrechnung.
Für ganzzahliges [mm]n \geq 1[/mm] gilt gemäß dem ersten Logarithmusgesetz
[mm]\ln{n!} = \sum_{k=1}^n~\ln{k}[/mm]
Die Summe ist Obersumme von [mm]\int_1^n~\ln{x}~\mathrm{d}x[/mm] und Untersumme von [mm]\int_1^{n+1}~\ln{x}~\mathrm{d}x[/mm]:
[mm]\int_1^n~\ln{x}~\mathrm{d}x \leq \ln{n!} \leq \int_1^{n+1}~\ln{x}~\mathrm{d}x[/mm]
Die Integrale werden berechnet:
[mm]- n + 1 + n \, \ln{n} \leq \ln{n!} \leq -n + n \, \ln{(n+1)} + \ln{(n+1)}[/mm]
Die Ungleichung wird durch [mm]n[/mm] dividiert, dann wird [mm]\ln{n}[/mm] subtrahiert:
[mm]-1 + \frac{1}{n} \leq \frac{\ln{n!}}{n} - \ln{n} \leq -1 + \ln{\frac{n+1}{n}} + \frac{\ln{(n+1)}}{n}[/mm]
Für [mm]n \to \infty[/mm] streben die rechte und linke Seite der Ungleichung gegen [mm]-1[/mm]. Beachte dazu die Stetigkeit des Logarithmus und [mm]\ln{1} = 0[/mm] sowie die Tatsache, daß der Logarithmus schwächer als jede Potenz wächst.
Dies zeigt:
[mm]\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\ln{n!}}{n} - \ln{n} \right) = -1[/mm]
Und jetzt die Gleichung noch in die Potenz zur Basis [mm]\operatorname{e}[/mm] erheben und die Stetigkeit der e-Funktion beachten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 22.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
