Grenzwert < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 01.02.2006 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | Sei a>0 Bestimmen Sie den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{a^{x}-1}{x} [/mm] |
Hallo!
So wie der Term im Moment da steht kann ich den Grenzwert ja nicht bestimmen. Ich habe versucht ihn geschickt zu erweitern usw. komme aber nicht weiter.
Ich hoffe ihr seht eine geschickte Umformung!
Vielen Dank Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lena!
Dürft ihr denn den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital verwenden? Dann bist Du ja schnell fertig, da hier der Fall [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] vorliegt.
Anderenfalls kann man den Grenzwert auch auffassen wir den Differenzenquotienten für die Funktion $f(x) \ = \ [mm] a^x$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ .
$f'(0) \ := \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^{0+h}-a^0}{h} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{a^{h}-1}{h}$
[/mm]
Kennst Du denn die Ableitungsfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion $f(x) \ = \ [mm] a^x [/mm] \ = \ [mm] e^{x*\ln(a)}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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