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| Aufgabe | Bilden Sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{q\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \summe_{i=1}^{n} {|x_i - y_i |}^q )^{\bruch{1}{q}}
[/mm]
[mm] x_i [/mm] , [mm] y_i \in \IR [/mm] |
Ok ich hab jetzt einfach mal bisschen philosophiert:
[mm] \summe_{i=1}^{n} {|x_i - y_i |}^q [/mm] ist ja einfach ein Polynom also hab ich das ganze ersetzt:
[mm] \limes_{q\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] a^q )^{\bruch{1}{q}}
[/mm]
dann folgt :
[mm] \limes_{q\rightarrow\infty} a^1 [/mm] = a
ist das jetzt richtig??
Das scheint irgendwie bisschen einfach zu sein.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Do 12.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, so einfach ist es nicht. Man kann zeigen, dass der Grenzwert
[mm] $\max_{i=1,2,\ldots,n} |x_i-y_i|$
[/mm]
ist. Versuche das doch mal zu zeigen... 
Liebe Grüße
Stefan
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Hm, ich "denk" mal 
[mm] \summe_{i=1}^{n} {|x_i - y_i|}^q [/mm]
[mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i| [/mm] kann ich ja durch a ersetzen? a [mm] \in \IR [/mm] , a > 0
also weis ich:
[mm] \summe_{i=1}^{n} {a}^q [/mm] = [mm] a_1^q [/mm] + [mm] a_2^q [/mm] + [mm] a_3^q [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] a_n^q
[/mm]
[mm] \forall [/mm] 0 =< [mm] a_i [/mm] < 1 geht das ganze gegen null
[mm] \forall a_i [/mm] = 1 ist das ganze n * 1
[mm] \forall a_i [/mm] > 1 geht das ganze nach [mm] \infty
[/mm]
Hm, jetzt weis ich erstmal nicht weiter :-(
Bringts das überhaupt da weiterzudenken oder ist das ein Holzweg??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Fr 13.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo muesli
hier tust du plötzlich so als ob n gegen unendlich ginge, im ersten posting schien das fest, und q gegen unendlich?
entscheid dich bitte!
Gruss leduart
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Hi Leudart,
hm das q geht gegen unendlich, das n ist fest.
Das muss dann irgendwie falsch rübergekommen sein,
ich hab versucht die Aufgabe von der Überlegung etwas aufzusplitten,
darum hab ich mir erst mal über den "inneren" Teil also die Summenfunktion, Gedanken gemacht was da passiert
und hab dann versucht das mit dem äußeren Teil also das 1/q zu verknüpfen.
Allerdings bin ich damit nicht wirklich weit gekommen wie aus dem letzen Posting ersichtlich ist :-(
Mir fehlt immer noch so ein bisschen der Ansatz zu dem ganzen.
Kann ich die Summe irgendwie vereinfachen??
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es gilt:
[mm] $\left(\sum\limits_{i=1}^n |x_i-y_i|^q \right)^{\frac{1}{q}} [/mm] = [mm] \max\limits_{j=1,\ldots,n} |x_j [/mm] - [mm] y_j| \cdot \left(\sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{|x_i-y_i|}{\max\limits_{j=1,\ldots,n} |x_j-y_j|} \right)^q \right)^{\frac{1}{q}}$
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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Verstehe ich das richtig?
die $ [mm] \max\limits_{j=1,\ldots,n} |x_j [/mm] - [mm] y_j| [/mm] $
lieftert das "größte" Element aus der Menge der [mm] |x_i [/mm] - [mm] y_i [/mm] |
damit gibt es einmal eine 1 wenn $ l [mm] x_i [/mm] - [mm] y_i [/mm] | = [mm] \max\limits_{j=1,\ldots,n} |x_j [/mm] - [mm] y_j| [/mm] $ und alle anderen
Summanden werden zu "Brüchen" kleiner 1 welche für q -> unendlich gegen null gehen.
Bleibt also übrig [mm] (1^q)^{\bruch{1}{q}} [/mm] was für q -> unendlich gegen 1 geht.
-> $ [mm] \max\limits_{j=1,\ldots,n} |x_j [/mm] - [mm] y_j| [/mm] * 1 $
Das is ja ein echt cooler Trick
Wie kommt man auf sowas???
Gibt es da irgendwas standartmäßiges??
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Hallo sambalmueslie,
> damit gibt es einmal eine 1 wenn [mm]l x_i - y_i | = \max\limits_{j=1,\ldots,n} |x_j - y_j|[/mm]
> und alle anderen
> Summanden werden zu "Brüchen" kleiner 1 welche für q ->
> unendlich gegen null gehen.
Nein die anderen Brüche können auch 1 sein.
Du kannst ja versuchen eine Einschließung zu machen.
... [mm]\le \left(\sum\limits_{i=1}^n \left(\frac{|x_i-y_i|}{\max\limits_{j=1,\ldots,n} |x_j-y_j|} \right)^q \right)^{\frac{1}{q}} \le [/mm] ...
Wenn das rechte und das linke gegen 1 gehen bleibt dem in der Mitte gar nichts anderes übrig als auch gegen 1 zu gehen.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Sa 14.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo muesli
Das mit dem Aufteilen ist keine so gute Idee, denn du weisst doch ,dass [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 konvergiert!.
Wenn alle deine ai gleich wären, dann hättest du [mm] (n*a^{q})^{1/q}.
[/mm]
wenn du da nur [mm] n*a^{q} [/mm] anguckst hilft dir das gar nichts ob das gegen 0 oder sonstwas geht!
da sie ja nun i.A. nicht gleich sind, musst du die Summe nach oben und unten abschätzen. probiers doch mal mit n=2, ruhig auch mit nem einfachen Zahlenbeispiel.
Gruss leduart
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