Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Lars.P |
| Aufgabe | Berechnen sie folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{x})(e^{-x} [/mm] +1)(log(x)) |
Hallo.
Ich bräuchte etwas Hilfe. Ich bin mir bewusst, dass ich den Grenzwert so nicht bestimmen darf.
es ist ja theoretisch [mm] 0*(0+1)*\infty [/mm] und dies ist ja nicht genau bestimmt. Also habe ich mir gedacht ich schreibe es etwas um und wende l'hopital an.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{x})(log(x)) [/mm] * [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} (e^{-x}+1) [/mm]
Der teil mit [mm] e^{-x}+1 [/mm] ist ja =1 also vernachlässige ich den in meiner Aufzeichnug erstmal.
Ich habe mir überlegt [mm] sin(\bruch{1}{x})(log(x)) [/mm] = [mm] \bruch{sin(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{log(x)}}. [/mm] Darauf kann ich jetzt l'hopital anwenden.
Daraus würde Folgen [mm] \bruch{\bruch{-cos(\bruch{1}{x}}{x^{2}}}{\bruch{-1}{xlog^{2}x}}. [/mm] Das wäre ja wieder [mm] \bruch{0}{0} [/mm] und nicht genau bestimmt. also müsste ich es ja wieder anwenden. Hätte dabei aber wieder das gleiche Problem dass es nicht eindeutig lösbar wäre.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Fr 15.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen sie folgenden Grenzwert:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{x})(e^{-x}[/mm]
> +1)(log(x))
> Hallo.
> Ich bräuchte etwas Hilfe. Ich bin mir bewusst, dass ich
> den Grenzwert so nicht bestimmen darf.
> es ist ja theoretisch [mm]0*(0+1)*\infty[/mm] und dies ist ja nicht
> genau bestimmt. Also habe ich mir gedacht ich schreibe es
> etwas um und wende l'hopital an.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{x})(log(x))[/mm] *
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} (e^{-x}+1)[/mm]
> Der teil mit [mm]e^{-x}+1[/mm] ist ja =1 also vernachlässige ich
> den in meiner Aufzeichnug erstmal.
> Ich habe mir überlegt [mm]sin(\bruch{1}{x})(log(x))[/mm] =
> [mm]\bruch{sin(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{log(x)}}.[/mm] Darauf kann
> ich jetzt l'hopital anwenden.
> Daraus würde Folgen
> [mm]\bruch{\bruch{-cos(\bruch{1}{x}}{x^{2}}}{\bruch{-1}{xlog^{2}x}}.[/mm]
> Das wäre ja wieder [mm]\bruch{0}{0}[/mm] und nicht genau bestimmt.
> also müsste ich es ja wieder anwenden. Hätte dabei aber
> wieder das gleiche Problem dass es nicht eindeutig lösbar
> wäre.
Den Grenzwert
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{x})*log(x)$
[/mm]
kannst Du so berechnen:
[mm] sin(\bruch{1}{x})*log(x)=\bruch{ sin(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x}}*\bruch{log(x)}{x}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ sin(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x}}=\limes_{t \rightarrow 0}\bruch{sin(t)}{t} [/mm] sollte bekannt sein.
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{log(x)}{x} [/mm] geht locker mit L'Hospital
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Lars.P |
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ sin(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x}}=\limes_{t \rightarrow 0}\bruch{sin(t)}{t} [/mm] $ wäre ja 1... könnte man sonst auch mit L'hospital machen.
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{log(x)}{x} [/mm] $ wäre [mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{1} [/mm] also [mm] \bruch{1}{x} [/mm] und somit 0. Damit hätte man ja 1*0*1 und den Grenzwert 0.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 15.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{ sin(\bruch{1}{x})}{\bruch{1}{x}}=\limes_{t \rightarrow 0}\bruch{sin(t)}{t}[/mm]
> wäre ja 1...
So ist es.
> könnte man sonst auch mit L'hospital machen.
Zur Not auch das.
Oder über den Differenzenquotienten
[mm] \lim\limits_{t\to0}\frac{sin(t)}{t}
[/mm]
[mm] =\lim\limits_{t\to0}\frac{sin(t)+\sin(0)}{t-0}
[/mm]
Und das ist genau die Definition der Ableitung von [mm] f(t)=\sin(t) [/mm] an der Stelle t=0, also
[mm] \lim\limits_{t\to0}\frac{sin(t)+\sin(0)}{t-0}=\cos(0)=1
[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{log(x)}{x}[/mm] wäre
> [mm]\bruch{\bruch{1}{x}}{1}[/mm] also [mm]\bruch{1}{x}[/mm] und somit 0.
Sofern mit log(x) der logarithmus Naturalis gement ist, ja, sonst hast du noch einen Faktor dabei, denn
[mm] \log_{a}(x) [/mm] hat die Ableitung [mm] \frac{1}{ln(a)}\cdot\frac{1}{x}
[/mm]
Dieser Faktor ändert aber nichts am Grenzwert.
> Damit hätte man ja 1*0*1 und den Grenzwert 0.
So ist es.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Fr 15.01.2016 | | Autor: | Lars.P |
Danke für die schnelle Hilfe
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