Grenzwert < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey,
eine ähnliche Aufgabe habe ich bereits in einem dieser Threads gestellt. Nun wurde die Aufgabe nochmals anders gestellt. leider hänge ich auch hier wieder an meinem Ansatz fest. Ich hoffe ihr könnt mir hier helfen  Ich schreibe nämlich nächste Woche meine erste Analysis 1 Klausur und muss noch ein paar Aufgaben nachvollziehen. Also erstmal die Aufgabe:
Es sei [mm] n\ge [/mm] N und für k = 0,1,2,...,n sei [mm] z_{k} [/mm] := [mm] e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}
[/mm]
1. Interpretieren Sie die Summe: [mm] \produkt_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}| [/mm] geometrisch
2. berechnen Sie den Grenzwert [mm] lim_{n->\infty} \produkt_{n}
[/mm]
Hinweis:
Es ist |sin(x)-x| [mm] \le \frac{|x^3|}{6} [/mm] für [mm] |x|\le2
[/mm]
mein Ansatz:
zu 1) die Summe ist die Summe der Längen des n-Ecks das innerhalb des Einheitskreises liegt
stimmt das so?
zu 2) ich weiß ja (dank Fred), dass [mm] |e^{it}|=1 [/mm] für alle t [mm] \in \IR [/mm]
(wobei wir in der Vorlesung gelernt haben, dass [mm] e^{2*\pi*i}=1 [/mm] --> Wo ist hier der Unterschied?)
wenn ich nun [mm] z_{k}und z_{k+1} [/mm] in die Summe einsetze erhalte ich:
[mm] \produkt_{n}= \sum_{k=0}^{n-1}|e^{\frac{2*\pi*i*(k+1)}{n}}-e^{\frac{2*\pi*i*k}{n}}|
[/mm]
Wie kann ich an dieser Stelle weiter umformen? bzw. den Grenzwert bestimmt?
Ich wünsche euch einen schönen Abend
Liebe Grüße
AnnaHundi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Fr 24.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du das ja geometrisch richtig interpretiert hast, zeichne es dich mal für n=5 oder grüßer auf. Dann siehst du direkt was rauskommt.
Was übrigens soll das Produktzeichen bei der Sache sein?
eine Bezeichnung für die Summe? dann nenn sie lieber [mm] S_n
[/mm]
Gruß leduart
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Hey du
Für jedes steigende n nähern sich die Kanten des n-Ecks immer mehr dem Einheitskreis. Das heißt die Lücke zwischen Einheitskreis und n-Eck wird für steigende n immer kleiner.
Allerdings habe ich jetzt keine Ahnung wie ich vorallem mit dem angegeben Hinweis den Grenzwert bestimmen soll. Eine wörtliche Erklärung reicht an dieser Stelle ja leider nicht aus
kannst du mir vielleicht hier helfen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Sa 25.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir klar, dass [mm] |z_{k+1}-z_{k}| [/mm] nur von n abhängt, also nicht von k.
Dann ist
[mm] \Pi_n=n*|1-z_1|
[/mm]
FRED
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Hey
das es von n abhängt verstehe ich. Aber wie kommst du denn auf die Aussage das ich benenne das Produktzeichen mal um durch [mm] S_{n}. [/mm] Also das [mm] S_{n}=|1-z_{1}|? [/mm] denn wenn ich in die Funktion [mm] z_{k} [/mm] 2 einsetze (wegen [mm] z_{k+1}) [/mm] erhalte ich doch nicht 1, oder?
und was hat das ganze mit dem Grenzwert zu tuen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Sa 25.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo|
hast du das mal aufgezeichnet? was ist z.B, [mm] |z_2-z_1| [/mm] oder [mm] |z_5-z_4| [/mm] wenn n=6 oder n=8
[mm] z_0=1 [/mm] ist dir hoffentlich klar?
Was meinst du in die fkt 2 einsetzten?
Du solltest das wirklich mal aufzeichnen! und dann hat es auch was mit dem GW zu tun!
Gruß leduart
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Hey
-also, dass [mm] z_{0}=1 [/mm] ist ist mir klar, wegen [mm] e^0=1 [/mm]
-und für k=1 erhalte ich doch ebenfall =1, wegen [mm] \wurzel[n]{1} [/mm] =1
das erhalte ich ja wegen [mm] e^{2*\pi*1*(1/n)}= \wurzel[n]{ e^{2*\pi*1*}}=\wurzel[n]{1} [/mm] =1
- dann ist doch eigentlich [mm] z_{k}= e^{2*\pi*(k/n)} [/mm] = [mm] \wurzel[k/n]{e^{2*pi}}= \wurzel[k/n]{1} [/mm] =1 oder? denn [mm] e^{2*\pi}=1
[/mm]
bin ich da auf dem Holzweg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Sa 25.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{2\pi} [/mm] ist natürlich nicht 1 sondern [mm] e^{2˜pi*I} [/mm]
die nte Wurzel aus 1 komplex hat n verschiedene Werte . nur einer davon ist 1
Weist du wirklich nicht, dass [mm] e^{i\phi} [/mm] die komplexe Zahl mit BETRAG 1 und Winkel zur reellen Achse [mm] \phi [/mm] ist? Wie kamst du dann anfangs auf dein n Eck. genau das solltest du jetzt mal zeichnen!!!
Jetzt zeichne dir wirklich mal die [mm] z_k [/mm] auf!
anscheinend führt unsere Hilfe dazu, dass du jetzt nicht mehr weist, was du anfangs noch wusstest?
Gruß leduart
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Hey
das mit dem n-Eck habe ich mit gedacht, da ich wusste, dass die Summe die Summe der Längen die innerhalb des Einheitskreises liegen, darstellt. ich könnte dies jetzt Zeichen. Aber ich könnte dies nicht mit Hilfe der Summe begründen
Also nochmal zum Anfang zurück:
wenn [mm] e^{\phi*i}=|1| [/mm] wie ist dann [mm] e^{\pi*i*2*k/n} [/mm] zu verstehen. denn hier steht ja dann [mm] \phi= 2*\pi*k/n
[/mm]
und wie ist die Summe zu verstehen?
tut mir leid das es so kompliziert ist aber irgendwie stehe ich total am Schlauch :-( und verzweifle jetzt schon seit 2 Tagen an der Aufgabe
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
der Winkel 2\pi *k\n entspricht für k=1 360°/ n. für n=6 also 60° für n=100 3,6° usw. für k=2 dan 120° bzw 7,2°
Diese Winkel zeichne auf dem Einheitskreis.
die Verbindung zw dem Punkt mit 0° und 3,6° ist z1-z0 entsprechend seine Länge die Länge der Sehne über den 3,6°
e^{i\phi ist NICHT 1 nur der Betrag, also die Länge ist 1!
es scheint, du hast die Darstellung der komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene noch nicht verstanden, versuch erstmal das zu klären.
Gruß leduart
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> der Winkel 2\pi *k\n entspricht für k=1 360°/ n. für
wieso aufeinmal 2/\pi ? ich dachte 2*\pi ?
> n=6 also 60° für n=100 3,6° usw. für k=2 dan 120° bzw
> 7,2°
müsste es nicht k=6 und k=100 heißen?
> Diese Winkel zeichne auf dem Einheitskreis.
> die Verbindung zw dem Punkt mit 0° und 3,6° ist z1-z0
> entsprechend seine Länge die Länge der Sehne über den
> 3,6°
okay. ich verstehe nur nicht, z_1 heißt ja, dass ich für k=1 einsetze. aber ich dachte für k=1 sind es 360 Grad. wie erhalte ich dann 3,6 Grad?
> e^{i\phi ist NICHT 1 nur der Betrag, also die Länge ist
> 1!
> es scheint, du hast die Darstellung der komplexen Zahlen
> in der Gaußschen Zahlenebene noch nicht verstanden,
> versuch erstmal das zu klären.
da hast du recht, wir haben das Thema in der Vorlesung nur grob angeschnitten und ich finde in Büchern und im Internet ist es auch nur ausreichend erklärt
Vielleicht kannst du mir trotzdem weiterhelfen
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast in [mm] S_n [/mm] ein festes n in [mm] 2\pi/n [/mm] *k in meinem Bsp 6 oder 100
später betrachtest du n gegrn unendlich, k faängt dann immer noch bei 1 an!
wenn k=1 was steht dann da? ich habe das Gehühl, du rätst nur ru und schreibst nichts auf.
Gruß leduart
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Hey
für k=1 erhalte ich doch [mm] z_{1}=e^{2*\pi*(1/n)} [/mm] meinst du das?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
ja! und welcher Winkel in Grad ist das für n= 120?
Gruß leduart
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Hey du
das sind dann für n=120 3 Grad richtig?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 So 26.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja! hast du jetz mal [mm] 1-z_1 [/mm] und z,B [mm] z_5-z_6 [/mm] gezeichnet fpr irgend ein n>5 und eingesehen, dazz die Beträge gleich sind?
Gruß leduart
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Hey
ja habe ich, dass die Beträge gleich sind müsste auch daran liegen, dass die Funktion [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist oder?
also kann man sagen: [mm] |z_{3}-z_{3}| =|z_{2}-z_{1}|
[/mm]
somit hängt ja alles von n ab, oder?
aber was hilft mir das bei der Bestimmung des Grenzwertes?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> ja habe ich, dass die Beträge gleich sind müsste auch
> daran liegen, dass die Funktion [mm]2\pi[/mm] periodisch ist oder?
Welche Funktion ??????
> also kann man sagen: [mm]|z_{3}-z_{3}| =|z_{2}-z_{1}|[/mm]
> somit
> hängt ja alles von n ab, oder?
Ja, hab ich doch gesagt.
> aber was hilft mir das bei der Bestimmung des
> Grenzwertes?
Es ist
$ [mm] \Pi_n=n\cdot{}|1-z_1| [/mm] $
[mm] z_1 [/mm] hängt von n ab. Berechne also [mm] |1-z_1|. [/mm] Dann schau, was mit [mm] \Pi_n [/mm] für n gegen unendlich passiert.
FREDpassiert
>
> LG
>
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Hey
wie kommst du denn auf den Vorfaktor n?
bzw. wie kommst du darauf [mm] \sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}| [/mm] = n* [mm] |1-z_{1} [/mm] | zu setzten. Also wieso man [mm] |z_{k+1}-z_{k}| =|1-z_{1} [/mm] |setzt verstehe ich ( denn wir haben ja festgestellt das die Beträge gleich sind. und dann verwenden wir daher immer der einfachheithalber [mm] |z_{0}-z_{1}|= |1-z_{1}| [/mm] aber woher kommt das n und wo ist die Summe hin?
naja nun zu [mm] |1-z_{1}|= |1-e^{2*\pi*(1/n)}|=|1-\wurzel[n]{1}|
[/mm]
und für große n verläuft dieser Teil ja gegen 0 oder? allerdings habe ich ja jetzt noch den Vorfaktor n, der für große n gegen [mm] +\infty [/mm] verläuft. Wie ist das zu verstehen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> wie kommst du denn auf den Vorfaktor n?
> bzw. wie kommst du darauf [mm]\sum_{k=0}^{n-1}|z_{k+1}-z_{k}|[/mm]
> = n* [mm]|1-z_{1}[/mm] | zu setzten.
gar nix hab ich gesetzt !
Du hast eine Summe
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}a_k [/mm] und Du hast herausbekommen:
[mm] a_k=a_0 [/mm] für k=1,...,n-1.
Dann ist doch
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}a_k= \summe_{k=0}^{n-1}a_0=n*a_0.
[/mm]
> Also wieso man [mm]|z_{k+1}-z_{k}| =|1-z_{1}[/mm]
> |setzt verstehe ich ( denn wir haben ja festgestellt das
> die Beträge gleich sind. und dann verwenden wir daher
> immer der einfachheithalber [mm]|z_{0}-z_{1}|= |1-z_{1}|[/mm] aber
> woher kommt das n und wo ist die Summe hin?
>
> naja nun zu [mm]|1-z_{1}|= |1-e^{2*\pi*(1/n)}|=|1-\wurzel[n]{1}|[/mm]
Unfug ! wie kommst Du denn auf [mm] e^{2*\pi*(1/n)}=\wurzel[n]{1} [/mm] ????
FRED
>
> und für große n verläuft dieser Teil ja gegen 0 oder?
> allerdings habe ich ja jetzt noch den Vorfaktor n, der für
> große n gegen [mm]+\infty[/mm] verläuft. Wie ist das zu
> verstehen?
>
>
> LG
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Hey
ich habe das i vergessen. Ich meinte natürlich :
[mm] e^{2*\pi*i*(1/n)}= \wurzel[n]{1} [/mm]
wegen [mm] 1=e^{2*\pi*i}
[/mm]
stimmt das nun?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> ich habe das i vergessen. Ich meinte natürlich :
> [mm]e^{2*\pi*i*(1/n)}= \wurzel[n]{1}[/mm]
Das stimmt doch nicht. Was bekommst Du denn für n=2 ???
FRED
> wegen [mm]1=e^{2*\pi*i}[/mm]
>
> stimmt das nun?
> LG
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Hey
tut mir leid, aber das schrieb der Professor so an die Tafel. Für n=2 erhalte ich dann =1 ..genauso wie für alle anderen n.. hast also recht, es stimmt nicht. Aber wie schreibe ich es dann auf?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> tut mir leid, aber das schrieb der Professor so an die
> Tafel.
Das glaube ich nicht.
> Für n=2 erhalte ich dann =1 ..genauso wie für alle
> anderen n..
Unfug !
Für Deine [mm] z_k [/mm] gilt: [mm] z_k^n=1 [/mm]
Hat Dein prof. das an die Tafel geschrieben ?
> hast also recht, es stimmt nicht. Aber wie
> schreibe ich es dann auf?
1. [mm] e^{it}=cos(t)+isin(t)
[/mm]
2. 1- [mm] e^{it}=(1-cos(t))-isin(t).
[/mm]
3. mit 2. berechne
[mm] |1-z_1|
[/mm]
und dann berechne mal [mm] \Pi_n^2=n^2|1-z_1|^2
[/mm]
(quadrieren macht die Sache angenehmer)
mach das mal, dann sehen wir weiter.
FRED
>
>
> LG
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Hey
erstmal zur Überprüfung:
[mm] |1-e^{i*2*\pi*(1/n)}|= (1-cos(2*\pi/n))-i*sin(2*\pi*(1/n)) [/mm] = (1-cos(1/n))
da [mm] i*sin(2*\pi*(1/n))=0
[/mm]
stimmt das so?
> 2. 1- [mm]e^{it}=(1-cos(t))-isin(t).[/mm]
wieso heißt es denn nicht:
. 1- [mm] e^{it}=(1-cos(t)-isin(t))?
[/mm]
PS: in der Vorlesung schrieb der Professor: [mm] e^{2*\pi*i}=1 [/mm] , wieso stimmt das denn nicht?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Mo 27.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> erstmal zur Überprüfung:
> [mm]|1-e^{i*2*\pi*(1/n)}|= (1-cos(2*\pi/n))-i*sin(2*\pi*(1/n))[/mm]
> = (1-cos(1/n))
> da [mm]i*sin(2*\pi*(1/n))=0[/mm]
> stimmt das so?
Nein ! [mm] sin(2*\pi*(1/n)=0 [/mm] nur für n=1 und n=2.
>
>
> > 2. 1- [mm]e^{it}=(1-cos(t))-isin(t).[/mm]
> wieso heißt es denn nicht:
> . 1- [mm]e^{it}=(1-cos(t)-isin(t))?[/mm]
Steht oben etwas anderes ?
>
> PS: in der Vorlesung schrieb der Professor: [mm]e^{2*\pi*i}=1[/mm] ,
> wieso stimmt das denn nicht?
Das stimmt. Niemand hat das Gegenteil behauptet !
FRED
>
>
> LG
>
>
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Hey
also gilt:
[mm] 1-e^{i*2*\pi*(1/n)}|= (1-cos(2*\pi/n)-i*sin(2*\pi*(1/n)) [/mm]
kann man das weiter vereinfachen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
hallo
wieso willst du das vereinfachen? die Vereinfachung ist es, es wieder mit der efkt zu schreiben.
Aber aufzeichnen kannst du es damit für jedes n
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du jetzt endlich mal für n = 6 und z.B8 [mm] z_0 [/mm] bis [mm] z_7 [/mm] aufgezeichnet und die Differenzen und die Summe der Differenzbeträge? was kommt da bei der Zeichnung raus.
Dann denk noch mal an deine erste antwort mit dem n. Eck. Was ist die Summe aller Seiten in einem n-Eck im Einheitskreis ungefähr, was wenn du immer mehr Ecken hast?
warum gehst du nicht auf Ratschläge ein, deine Fragen zeigen, dass du das nie gezeichnet hast.
Gruß leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:05 Di 28.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> also gilt:
> [mm]1-e^{i*2*\pi*(1/n)}|= (1-cos(2*\pi/n)-i*sin(2*\pi*(1/n))[/mm]
Stehen da nun Betragsstriche oder nicht ????
[mm] |1-e^{i*2*\pi*(1/n)}|^2= (1-cos(2*\pi/n))^2+sin^2(2*\pi*(1/n)=2-2cos(2*\pi/n)
[/mm]
FRED
> kann man das weiter vereinfachen?
>
> LG
>
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:06 Mo 27.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum sollte [mm] e^{2\pi*i/n} [/mm] nicht als [mm] (e^{2\pi*i})^{1/n} [/mm] geschrieben werden und das als Wurzel.
die Fragende sieht nur nicht dass die nte Wurzel n verschiedene Lösungen hat, sondern beharrt auf der 1 als Lösung.
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