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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] mit
[mm]f_{n}: \ \IR \to \IR, f_{n}\left(x\right):=n*x*e^{-n*x}, \ n \in \IN[/mm]
Zeigen Sie , daß [mm]\{ f_{n} \}[/mm] gleichmäßig auf [mm]\left[a, \infty \right[[/mm] mit a > 0 konvergiert.
Konvergiert [mm]\{ f_{n} \}[/mm] auch gleichmäßig aus [mm]\left]0, \infty\right[[/mm] ? |
Hallo,
nun die Frage ist eigentlich, wie ich zu der Grenzfunktion komme.
Für [mm]x \not=0 [/mm] ist das kein Problem:
[mm]\bruch{f_{n+1}\left(x\right)}{f_{n}\left(x\right)}=\bruch{\left(n+1\right)*x*e^{-\left(n+1\right)x}}{n*x*e^{-n*x}}=\left(1+\bruch{1}{n}\right)*e^{-x}[/mm]
Dann forme ich das etwas um:
[mm]f_{n+1}\left(x\right)-\left(1+\bruch{1}{n}\right)*e^{-x}*f_{n}\left(x\right)=0[/mm]
Nun bilde ich hier den Grenzwert für [mm]n \to \infty[/mm]:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n+1}\left(x\right)-\left(1+\bruch{1}{n}\right)*e^{-x}*f_{n}\left(x\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow f\left(x\right)-e^{-x}*f\left(x\right)=0[/mm]
[mm]\gdw f\left(x\right)*\left(1-e^{-x}\right)=0[/mm]
[mm]\Rightarrow f\left(x\right)=0[/mm]
Nur, wie mache ich das jetzt für x=0?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie hier zu sehen ist, ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}\left(0\right)=e^{-1}[/mm]
Nur wie zeige ich das?
Wähle ich hier für x eine Nullfollge z.B. [mm]x_{m}=\bruch{1}{m}[/mm].
Dann ergibt das auch den Grenzwert [mm]e^{-1}[/mm].
Oder muß ich hier die Folge auch von n abhängig machen?
Wenn ich die Folge so wähle, dann ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{m}e^{-\bruch{n}{m}}=0[/mm]
Wähle ich hier die Folge [mm]x_{n}:=\bruch{1}{n}[/mm], dann ist
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n}e^{-\bruch{n}{n}}=e^{-1}[/mm]
Gruß
MathePower
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Gegeben sei die Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] mit
>
> [mm]f_{n}: \ \IR \to \IR, f_{n}\left(x\right):=n*x*e^{-n*x}, \ n \in \IN[/mm]
>
> Zeigen Sie , daß [mm]\{ f_{n} \}[/mm] gleichmäßig auf [mm]\left[a, \infty \right[[/mm]
> mit a > 0 konvergiert.
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> Konvergiert [mm]\{ f_{n} \}[/mm] auch gleichmäßig aus [mm]\left]0, \infty\right[\ ?[/mm]
>
> Nur, wie mache ich das jetzt für x=0?
>
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> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Wie hier zu sehen ist, ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}\left(0\right)=e^{-1}[/mm]
Hallo MathePower,
ich sehe da etwas anderes, nämlich:
Für jedes [mm] n\in\IN [/mm] ist [mm] f_n(0)=0, [/mm] also ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}( f_{n}\left(0\right))=0[/mm]
Und: Der Fall x=0 muss gemäss der Aufgabenstellung
gar nicht betrachtet werden, da nur nach gleichmässiger
Konvergenz auf $\ [mm] ]0,\infty [/mm] [\ =\ [mm] \IR^+$ [/mm] gefragt wird.
> Nur wie zeige ich das?
>
> Wähle ich hier für x eine Nullfolge z.B.
> [mm]x_{m}=\bruch{1}{m}[/mm].
> Dann ergibt das auch den Grenzwert [mm]e^{-1}[/mm].
>
> Oder muß ich hier die Folge auch von n abhängig machen?
>
> Wenn ich die Folge so wähle, dann ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{m}e^{-\bruch{n}{m}}=0[/mm]
>
> Wähle ich hier die Folge [mm]x_{n}:=\bruch{1}{n}[/mm], dann ist
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n}e^{-\bruch{n}{n}}=e^{-1}[/mm]
Diese Überlegungen zeigen, dass es für jedes n ein
x>0 gibt mit [mm] |f_n(x)|>0.3 [/mm]
Deshalb kann diese Funktionenfolge nicht gleichmässig
gegen die Nullfunktion konvergieren, gegen welche sie
punktweise konvergiert.
Mit dem Normbegriff [mm] ||f||=sup\{|f(x)|\ \ |\ x\in M\} [/mm] und dem
Satz, dass eine Funktionenfolge [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] genau dann
auf der Menge M gleichmässig gegen die Funktion f
konvergiert, wenn [mm] \limes_{n\to\infty}||f_n-f||=0 [/mm] ist, zeigt sich im
vorliegenden Fall mit [mm] M=\IR^+ [/mm] und $\ f\ =\ [mm] 0_M$ [/mm] , dass
[mm] ||f_n-f||=sup\{|f_n(x)-0|\ \ |\ x\in M\}=sup\{|f_n(x)|\ \ |\ x\in M\}=\bruch{1}{e}\not=0
[/mm]
Damit konvergiert die Folge der [mm] f_n [/mm] nicht gleichmässig gegen
die Nullfunktion (und auch gegen keine andere Funktion).
Gruß Al
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Hallo Al.
> > Gegeben sei die Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] mit
> >
> > [mm]f_{n}: \ \IR \to \IR, f_{n}\left(x\right):=n*x*e^{-n*x}, \ n \in \IN[/mm]
>
> >
> > Zeigen Sie , daß [mm]\{ f_{n} \}[/mm] gleichmäßig auf [mm]\left[a, \infty \right[[/mm]
> > mit a > 0 konvergiert.
> >
> > Konvergiert [mm]\{ f_{n} \}[/mm] auch gleichmäßig aus [mm]\left]0, \infty\right[\ ?[/mm]
> Mit dem Normbegriff [mm]||f||=sup\{|f(x)|\ \ |\ x\in M\}[/mm] und
> dem
> Satz, dass eine Funktionenfolge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] genau
> dann
> auf der Menge M gleichmässig gegen die Funktion f
> konvergiert, wenn [mm]\limes_{n\to\infty}||f_n-f||=0[/mm] ist, zeigt
> sich im
> vorliegenden Fall mit [mm]M=\IR^+[/mm] und [mm]\ f\ =\ 0_M[/mm] , dass
>
> [mm]||f_n-f||=sup\{|f_n(x)-0|\ \ |\ x\in M\}=sup\{|f_n(x)|\ \ |\ x\in M\}=\bruch{1}{e}\not=0[/mm]
>
> Damit konvergiert die Folge der [mm]f_n[/mm] nicht gleichmässig
> gegen
> die Nullfunktion (und auch gegen keine andere Funktion).
>
>
>
> Gruß Al
Aber die Funktionenfolge konvergiert dann
gleichmäßig auf [mm]\left[a,\infty\right[[/mm] mit a>0?
Gruß
MathePower
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> Hallo Al.
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> > > Gegeben sei die Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] mit
> > >
> > > [mm]f_{n}: \ \IR \to \IR, f_{n}\left(x\right):=n*x*e^{-n*x}, \ n \in \IN[/mm]
> > > Zeigen Sie , daß [mm]\{ f_{n} \}[/mm] gleichmäßig auf [mm]\left[a, \infty \right[[/mm]
> > > mit a > 0 konvergiert.
> > >
> > > Konvergiert [mm]\{ f_{n} \}[/mm] auch gleichmäßig aus [mm]\left]0, \infty\right[\ ?[/mm]
>
>
> > Mit dem Normbegriff [mm]||f||=sup\{|f(x)|\ \ |\ x\in M\}[/mm] und
> > dem
> > Satz, dass eine Funktionenfolge [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm] genau
> > dann
> > auf der Menge M gleichmässig gegen die Funktion f
> > konvergiert, wenn [mm]\limes_{n\to\infty}||f_n-f||=0[/mm] ist, zeigt
> > sich im
> > vorliegenden Fall mit [mm]M=\IR^+[/mm] und [mm]\ f\ =\ 0_M[/mm] , dass
> >
> > [mm]||f_n-f||=sup\{|f_n(x)-0|\ \ |\ x\in M\}=sup\{|f_n(x)|\ \ |\ x\in M\}=\bruch{1}{e}\not=0[/mm]
>
> >
> > Damit konvergiert die Folge der [mm]f_n[/mm] nicht gleichmässig
> > gegen die Nullfunktion (und auch gegen keine andere Funktion).
> >
> > Gruß Al
>
>
> Aber die Funktionenfolge konvergiert dann
> gleichmäßig auf [mm]\left[a,\infty\right[[/mm] mit a>0?
Ah, ich hatte angenommen, dass du das schon
bewiesen hast. Der interessante Punkt ist folgender:
Wenn wir f nicht auf der Menge [mm] \IR^+ [/mm] betrachten,
sondern nur auf einer Menge [mm] M=[a;\infty) [/mm] mit a>0 ,
dann rutschen die "Buckel" und die Maxima der [mm] f_n [/mm]
für genügend grosse n links aus dem betrachteten
Bereich heraus. Ist [mm] n>\bruch{1}{a} [/mm] , so ist [mm] f_n [/mm] in M
streng monoton fallend und hat daher bei x=a den
grössten Wert: [mm] sup\{|f_n(x)|\ \ |\ x\in M\}=f_n(a)=n*a*e^{-n*a}
[/mm]
Hält man a fest und lässt n gegen [mm] \infty [/mm] streben,
so streben diese Suprema gegen null, und daraus
ergibt sich, dass die Folge der [mm] f_n [/mm] auf $\ [mm] M=[a;\infty)$ [/mm]
gleichmässig gegen die Nullfunktion konvergiert.
Warum funktioniert dies mit [mm] M=\IR^+ [/mm] nicht ? Weil
dann das Supremum mit dem Wert [mm] \bruch{1}{e} [/mm] keine Chance
hat, nach links aus dem Blickfeld zu entweichen.
Anhand deiner Grafik kann man sich dies sehr
gut veranschaulichen.
LG al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 14.12.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo Al,
> Ah, ich hatte angenommen, dass du das schon
> bewiesen hast. Der interessante Punkt ist folgender:
> Wenn wir f nicht auf der Menge [mm]\IR^+[/mm] betrachten,
> sondern nur auf einer Menge [mm]M=[a;\infty)[/mm] mit a>0 ,
> dann rutschen die "Buckel" und die Maxima der [mm]f_n[/mm]
> für genügend grosse n links aus dem betrachteten
> Bereich heraus. Ist [mm]n>\bruch{1}{a}[/mm] , so ist [mm]f_n[/mm] in M
> streng monoton fallend und hat daher bei x=a den
> grössten Wert: [mm]sup\{|f_n(x)|\ \ |\ x\in M\}=f_n(a)=n*a*e^{-n*a}[/mm]
>
> Hält man a fest und lässt n gegen [mm]\infty[/mm] streben,
> so streben diese Suprema gegen null, und daraus
> ergibt sich, dass die Folge der [mm]f_n[/mm] auf [mm]\ M=[a;\infty)[/mm]
> gleichmässig gegen die Nullfunktion konvergiert.
>
> Warum funktioniert dies mit [mm]M=\IR^+[/mm] nicht ? Weil
> dann das Supremum mit dem Wert [mm]\bruch{1}{e}[/mm] keine Chance
> hat, nach links aus dem Blickfeld zu entweichen.
> Anhand deiner Grafik kann man sich dies sehr
> gut veranschaulichen.
>
>
> LG al-Chwarizmi
Ok, vielen Dank.
Gruß
MathePower
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