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| Aufgabe | a) Beweisen Sie die folgende Identität:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+t^2)^2} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2t}\bruch{d}{dt}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2+t^2} dx} [/mm] für alle t > 0.
b) Berechnen Sie das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+t^2)^2} dx} [/mm] für t > 0 und untersuchen Sie das Verhalten des Integrals für t [mm] \downarrow [/mm] 0.
c) Zeigen Sie, dass [mm] \integral_{0}^{\pi}{\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^2 sin(nx)}{a^n} dx} [/mm] = [mm] \bruch{2a (1 + a^2)}{(a^2 - 1)^2} [/mm] für alle a > 1. |
Hallo,
zu a):
Da mir keine Idee eingefallen ist, wie man eine Stammfunktion von den gegebenen Funktionen berechnet, habe ich mir Wolfram Alpha zur Hilfe genommen und folgende Stammfunktionen berechnet:
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2 + t^2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{t} [/mm] arctan [mm] \bruch{x}{t}
[/mm]
und
[mm] \integral{\bruch{1}{(x^2 + t^2)^2} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{t^3} \left(\bruch{tx}{x^2 + t^2} + arctan \bruch{x}{t}\right)
[/mm]
Ich würde allerdings trotzdem gerne wissen, welchen Trick man anwenden muss, um die Integrale ohne Wolfram Alpha bestimmen zu können.
zu b)
Es gilt: [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+t^2)^2} dx} [/mm] = [mm] \left[\bruch{1}{2} \bruch{1}{t^3} \left(\bruch{tx}{x^2 + t^2} + arctan \bruch{x}{t}\right)\right]_0^1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \bruch{1}{t^3} \left(\bruch{t}{1 + t^2} + arctan \bruch{1}{t}\right) \to +\infty [/mm] für t [mm] \downarrow [/mm] 0.
Stimmt das so?
zu c)
Hier weiß ich nicht, wie ich die Gleichheit zeigen soll.
Bisher habe ich nur folgendes:
Definiere eine Folge von Funktionen [mm] (f_n)_{n \in \IN_0} [/mm] mit [0, [mm] \pi] \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{n^2 sin(nx)}{a^n}, [/mm] wobei a > 1 fest.
Sei x [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi].
[/mm]
[mm] \Rightarrow |f_n(x)| [/mm] = [mm] \left|\bruch{n^2 sin(nx)}{a^n}\right| [/mm] ≤ [mm] \bruch{n^2}{a^n} [/mm] ≤ [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] für fast alle n. (Beachte, dass [mm] \bruch{a^n}{n^4} \to \infty [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] und a > 1)
Da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] konvergiert, konvergiert auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty}f_n(x).
[/mm]
Also gibt es eine Grenzfunktion f(x) := [mm] \summe_{n=0}^{\infty}f_n(x) [/mm] für jedes x aus [0, [mm] \pi]
[/mm]
Jetzt möchte ich die Grenzfunktion f bestimmen, damit ich diese integrieren kann und die Gleichheit zeigen kann, aber wie bestimme ich f? Oder bin ich sowieso auf dem falschen Weg?
Wäre für Tipps dankbar!
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Di 18.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a sollst du ja nicht das Integral berechnen, sondern nur die Identit'et yeigen (rechne die rechte Seite aus!
in b) kannst du dann das rechte Integral berechnen,
in c) hast du mit deiner Konvergeny gezeigt, dass du Integral und Summe vertauschen darfst.
Gruss leduart
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> Hallo
> in a sollst du ja nicht das Integral berechnen, sondern
> nur die Identit'et yeigen (rechne die rechte Seite aus!
> in b) kannst du dann das rechte Integral berechnen,
> in c) hast du mit deiner Konvergeny gezeigt, dass du
> Integral und Summe vertauschen darfst.
> Gruss leduart
zu a)
Ja, aber wenn ich die rechte Seite ausrechnen soll, muss ich doch das rechte Integral bestimmen?!
zu c)
Ich habe doch nur punktweise Konvergenz gezeigt, und keine gleichmäßige, also darf ich die Zeichen doch nicht vertauschen??
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Di 18.06.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deinen Konvergenybeweis kann man leicht zu glm Konvergeny machen.
zu a( arctan als Integral sollte man auch ohne wlfram kennen. Polznomem ln, [mm] e^x, [/mm] alle trig. fkt und ihre Umkehrfkt sollte man differenyieren koennen und entsprechend sie als stammfkt erkennen,
Gruss leduart
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Hallo,
zu a)
Die rechte Seite der Gleichung habe ich nun per Hand ausgerechnet, und bekomme raus:
[mm] -\bruch{1}{2t} \cdot \bruch{d}{dt} \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2 + t^2} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2t} \cdot \left( - \bruch{\bruch{1}{1 + \bruch{1}{t^2}} + t \cdot arctan \bruch{1}{t}}{t^3} \right)
[/mm]
Aber wie beweise ich jetzt die Identität ohne das Integral der linken Seite zu kennen?
Einfach durch passende Umformungen, oder wie?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Mi 19.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> zu a)
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> Die rechte Seite der Gleichung habe ich nun per Hand
> ausgerechnet, und bekomme raus:
>
> [mm]-\bruch{1}{2t} \cdot \bruch{d}{dt} \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2 + t^2} dx}[/mm]
> = [mm]-\bruch{1}{2t} \cdot \left( - \bruch{\bruch{1}{1 + \bruch{1}{t^2}} + t \cdot arctan \bruch{1}{t}}{t^3} \right)[/mm]
Das ist doch alles überflüssig !
Es ist zu zeigen:
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{(x^2+t^2)^2} dx} [/mm] $ = $ [mm] -\bruch{1}{2t}\bruch{d}{dt}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2+t^2} dx} [/mm] $ für alle t > 0.
Es ist [mm] \bruch{d}{dt}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2+t^2} dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{d}{dt}(\bruch{1}{x^2+t^2}) dx}
[/mm]
FRED
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> Aber wie beweise ich jetzt die Identität ohne das Integral
> der linken Seite zu kennen?
> Einfach durch passende Umformungen, oder wie?
>
> Grüsse
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> Es ist [mm]\bruch{d}{dt}\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^2+t^2} dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{d}{dt}(\bruch{1}{x^2+t^2}) dx}[/mm]
>
> FRED
Hallo FRED,
Ist das auch zu zeigen, oder ist das ,,klar"? Mir ist das nämlich nicht klar. Warum darf ich die Zeichen vertauschen?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Mi 19.06.2013 | | Autor: | fred97 |
http://www.math.uni-leipzig.de/UAA/f/WS12XX31925.pdf
FRED
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Okay, danke schön. Aber das hatten wir weder in der Vorlesung, noch in der Übung.
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