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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Grenzen beim Dreifachintegral
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Grenzen beim Dreifachintegral: Frage (für Interessierte)
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 17:48 Di 07.07.2009
Autor: micha_goes_ti

Aufgabe
Berechnen sie durch Integration das Volumen der Menge, die durch die Menge [mm]Z = \{x, y, z | x^2 + y^2 \le 2ax \}[/mm] aus der Menge [mm]M = \{x, y, z | x^2 + y^2 + z^2 \le 4a^2 \}[/mm] herausgeschnitten wird. Nutzen sie Zylinderkoordinaten.

Hallo,
ich habe eine Frage zur Bestimmung der Grenzen für obiges Integral. Ich hab mir die Menge Z bereits so veranschaulicht, dass man durchsieht:

[mm]Z = \{x, y, z | (x-a)^2 + y^2 \le a^2 \}[/mm]

Also ist das ein Kreis, dessen Mittelpunkt aber nicht im Ursprung liegt, sondern bei (a, 0). Wenn ich jetzt die Transformationen für die Zylinderkoordinaten anwende, komme ich auf:

[mm]Z = \{r, \alpha | r \le 2acos\alpha \}[/mm]

Mir ist nicht ganz klar, wie ich diese "Grundfläche" des entstehenden Gebietes jetzt mit Integrationsgrenzen "scanne". r müsste ja immer noch von 0 bis a laufen und [mm] \alpha [/mm] immernoch von 0 bis [mm] 2\pi, [/mm] aber damit trage ich ja der Tatsache, dass der Kreis nicht um den Ursprung liegt, keinerlei Rechnung. Das muss ich ja aber offensichtlich. Kann mir jemand helfen, bitte?



        
Bezug
Grenzen beim Dreifachintegral: verbesserte Version
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Di 07.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen sie durch Integration das Volumen der Menge, die
> durch die Menge [mm]Z = \{x, y, z | x^2 + y^2 \le 2ax \}[/mm] aus
> der Menge [mm]M = \{x, y, z | x^2 + y^2 + z^2 \le 4a^2 \}[/mm]
> herausgeschnitten wird. Nutzen Sie Zylinderkoordinaten.
>  Hallo,
>  ich habe eine Frage zur Bestimmung der Grenzen für obiges
> Integral. Ich hab mir die Menge Z bereits so
> veranschaulicht, dass man durchsieht:
>  
> [mm]Z = \{x, y, z | (x-a)^2 + y^2 \le a^2 \}[/mm]
>  
> Also ist das ein Kreis, dessen Mittelpunkt aber nicht im
> Ursprung liegt, sondern bei (a, 0). Wenn ich jetzt die
> Transformationen für die Zylinderkoordinaten anwende,
> komme ich auf:
>  
> [mm]Z = \{r, \alpha | r \le 2acos\alpha \}[/mm]
>  
> Mir ist nicht ganz klar, wie ich diese "Grundfläche" des
> entstehenden Gebietes jetzt mit Integrationsgrenzen
> "scanne". r müsste ja immer noch von 0 bis a laufen und
> [mm]\alpha[/mm] immernoch von 0 bis [mm]2\pi,[/mm] aber damit trage ich ja
> der Tatsache, dass der Kreis nicht um den Ursprung liegt,
> keinerlei Rechnung. Das muss ich ja aber offensichtlich.
> Kann mir jemand helfen, bitte?


Guten Abend Micha,

M ist ja die Vollkugel mit Radius R=2a und
Zentrum im Nullpunkt. Z ist der Zylinder
mit Achse parallel zur z-Achse durch den
Punkt (a/0) und mit dem Radius a.
Mit Zylinderkoordinaten sind vermutlich
solche gemeint, die dem vorliegenden
Zylinder angepasst sind, also:

         [mm] $\alpha \in [0\,...\,2\,\pi]$ [/mm]
         $\ r [mm] \in [0\,...\,a]$ [/mm]

         [mm] x=a+r*cos(\alpha) [/mm]
         [mm] y=r*sin(\alpha) [/mm]

Für jedes Zahlenpaar (x,y) innerhalb des
Querschnittskreises des Zylinders muss
dann z von [mm] -\sqrt{(2\,a)^2-x^2-y^2} [/mm] bis [mm] \sqrt{(2\,a)^2-x^2-y^2} [/mm]
laufen. Wegen der vorliegenden Symmetrie
kann man natürlich statt dessen von z=0
bis [mm] z=\sqrt{(2\,a)^2-x^2-y^2} [/mm] integrieren und dann
das Ergebnis verdoppeln.


Allenfalls könnten aber auch Zylinder-
koordinaten der Form

          [mm] $\varphi \in [-\pi/2\ ...\,+\pi/2]$ [/mm]
          $\ [mm] s\in[0\,...\,2\,a\,cos(\varphi)]$ [/mm]

          [mm] x=s*cos(\varphi) [/mm]
          [mm] y=s*sin(\varphi) [/mm]

in Frage kommen. Dann ginge die Integration
über z von [mm] -\sqrt{4\,a^2-s^2} [/mm] bis [mm] +\sqrt{4\,a^2-s^2} [/mm] .


LG    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Grenzen beim Dreifachintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Di 07.07.2009
Autor: micha_goes_ti

Zu deiner überarbeiteten Version: Wieso muss der Winkel von [mm]-\bruch{\pi}{2}[/mm] bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] laufen?
Bezug
                        
Bezug
Grenzen beim Dreifachintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:28 Di 07.07.2009
Autor: leduart

Hallo
Das sind andere, nicht die ueblichen Zylinderkoordinaten, sie laufen vom Suedpol zum Nordpol. ich denk vergiss die.
gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Grenzen beim Dreifachintegral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Di 07.07.2009
Autor: micha_goes_ti

Okay, dann nochmal zu seinen ersten Koordinaten: Wenn ich da die Formel, die für z gefunden wurde, auch in Zylinderkoordinaten umschreibe, steht da ja ein massives Konstrukt unter der Wurzel, das ist doch niemals von Hand integrierbar. Gibts da irgendwas, was ich übersehe?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzen beim Dreifachintegral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:53 Mi 08.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Okay, dann nochmal zu seinen ersten Koordinaten: Wenn ich
> da die Formel, die für z gefunden wurde, auch in
> Zylinderkoordinaten umschreibe, steht da ja ein massives
> Konstrukt unter der Wurzel, das ist doch niemals von Hand
> integrierbar. Gibts da irgendwas, was ich übersehe?


Moin Micha,

mit der zweiten vorgeschlagenen Parametrisierung
(Zylinderkoordinaten um die z-Achse) geht's jedenfalls.
Ich habe es ausprobiert.


LG   Al

Bezug
                                
Bezug
Grenzen beim Dreifachintegral: Nein !
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 01:09 Mi 08.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo
>  Das sind andere, nicht die ueblichen Zylinderkoordinaten,
> sie laufen vom Suedpol zum Nordpol. ich denk vergiss die.
>  gruss leduart


Hallo Leduart,

ich glaube, da hast du etwas wichtiges
verwechselt !

Du hast vorher so eine hübsche grafische
Darstellung gebracht. Wenn du dir den
Schnitt des ganzen in der x-y-Ebene
anschaust, dann kannst du sehr schön
sehen, dass man die kleine Kreisfläche
auch radial von O(0/0) aus "scannen"
kann. Der Polarwinkel [mm] \varphi [/mm] muss dabei von
-90° bis +90° laufen, und für jeden
solchen Winkel [mm] \varphi [/mm] läuft der Radius von
0 bis [mm] 2\,a*cos(\varphi) [/mm] !

Gruß    Al

Bezug
        
Bezug
Grenzen beim Dreifachintegral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:52 Di 07.07.2009
Autor: leduart

Hallo
nur ein Bildchen, damit du dirs besser vorstellen kannst:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
        
Bezug
Grenzen beim Dreifachintegral: überraschende Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:01 Do 09.07.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen sie durch Integration das Volumen der Menge, die
> durch die Menge [mm]Z = \{x, y, z\ |\ x^2 + y^2 \le 2\,a\,x \}[/mm] aus
> der Menge [mm]M = \{x, y, z\ |\ x^2 + y^2 + z^2 \le 4\,a^2 \}[/mm]
> herausgeschnitten wird. Nutzen Sie Zylinderkoordinaten.


Hallo,

wenn ich mich nicht verrechnet habe, fällt
[mm] \pi [/mm] bei dieser Berechnung heraus. Mit anderen
Worten:  wenn a rational ist, wird auch das
Volumen dieses Körpers rational. Es entspricht
einem Neuntel des Volumens des der Kugel M
umbeschriebenen Würfels !
Das ist ähnlich überraschend wie der rationale
Flächeninhalt der "Möndchen des Hippokrates"
beim rechtwinkligen Dreieck mit rationalen
Katheten.

LG    Al-Chw.

Bezug
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