Greenschen Funktionen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Skunki |
| Aufgabe | Zu den Randwertaufgaben berechne man die Greenschen Funktionen:
a) $u''(x)= f(x)$ für $x [mm] \in [/mm] [0,1], u(0)=u'(1)=0$
b) $(xu')'=f(x)$ für $x [mm] \in [/mm] [0,e], u(1)=u(e)=0$ |
Hallo alle miteinander,
habe hier diese Aufgabe, da ich schwer krank war habe ich ein paar Vorlesungen verpasst und keine Übungsblätter abgegeben. Natürlich bin ich nun total überfordert und hab keine Ahnung wie ich nun an diese Aufgabe rangehen soll. Skript habe ich nachgearbeitet aber werde nicht schlauer...
Würde mich über jede Hilfe freuen
Gruß Skunkinchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Mi 12.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Möglicherweise hilft Dir das:
http://page.math.tu-berlin.de/~wittbold/Teach/Kapitel7.pdf
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Hallo Fred
> Möglicherweise hilft Dir das:
vielen Dank für deine Antwort, aber leider funktioniert der Link nicht.
>
> http://page.math.tu-berlin.de/~wittbold/Teach/Kapitel7.pdf
>
> FRED
Liebe Grüße Skunki
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Hallo Skunki,
> Hallo Fred
> > Möglicherweise hilft Dir das:
> vielen Dank für deine Antwort, aber leider funktioniert
> der Link nicht.
Der Link funktioniert schon.
Im Browser-Fenster wird bei mir ein PDF angezeigt.
> >
> > http://page.math.tu-berlin.de/~wittbold/Teach/Kapitel7.pdf
> >
> > FRED
>
> Liebe Grüße Skunki
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Guten Abend,
habe mich nun weiter probiert und auf dieser Seite ähnliche Aufgaben gefunden.(Der Link ging dann doch, vielen Dank dafür) Also, erstmal muss ich ein Fundamentalsystem bestimmen, in dem ich die charakteristische Gleichung aufstelle. Wie mache ich das aber nun richtig, da ich ja inhomogene DGL habe?
zur a)
Mein Ansatz wäre nun erstmal, dass wir die homogene DGL u''=0 betrachten und die dazugehörige char. Gleichung [mm] $\lambda^2=0$ [/mm] mit der doppelten Nullstelle [mm] $\lambda=0 [/mm] $.
daraus erhalten wir das Fundamentalsystem x,1 ...stimmt das so und wenn ja wie mache ich dann weiter?
zur b)
Durch die Kettenregel kann ich das ja dann umschreiben:
(xu')'=f(x)=u''x+u'
wenn ich aber nun die charakt.Gleichung erstellen will weiß ich nicht wie ich das mit dem x machen muss?
Liebe Grüße
Skunkilein
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Hallo Skunki,
> Guten Abend,
>
> habe mich nun weiter probiert und auf dieser Seite
> ähnliche Aufgaben gefunden.(Der Link ging dann doch,
> vielen Dank dafür) Also, erstmal muss ich ein
> Fundamentalsystem bestimmen, in dem ich die
> charakteristische Gleichung aufstelle. Wie mache ich das
> aber nun richtig, da ich ja inhomogene DGL habe?
> zur a)
> Mein Ansatz wäre nun erstmal, dass wir die homogene DGL
> u''=0 betrachten und die dazugehörige char. Gleichung
> [mm]\lambda^2=0[/mm] mit der doppelten Nullstelle [mm]\lambda=0 [/mm].
>
> daraus erhalten wir das Fundamentalsystem x,1 ...stimmt das
Ja, das stimmt.
> so und wenn ja wie mache ich dann weiter?
>
> zur b)
> Durch die Kettenregel kann ich das ja dann umschreiben:
> (xu')'=f(x)=u''x+u'
>
> wenn ich aber nun die charakt.Gleichung erstellen will
> weiß ich nicht wie ich das mit dem x machen muss?
>
Substituiere hier z=u', dann erhältst Du eine DGL 1. Ordnung.
Die Lösung dieser DGLermittelst Du durch Trennung der Variablen.
Da z=u' substituiert wurde, ist die Lösung der DGL 1.Ordnung
noch einmal zu integrieren.
> Liebe Grüße
>
> Skunkilein
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Do 13.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Hallo MathePower,
zuerst mal: vielen vielen Dank für deine Antwort!!
> Hallo Skunki,
>
> > Guten Abend,
> >
> > habe mich nun weiter probiert und auf dieser Seite
> > ähnliche Aufgaben gefunden.(Der Link ging dann doch,
> > vielen Dank dafür) Also, erstmal muss ich ein
> > Fundamentalsystem bestimmen, in dem ich die
> > charakteristische Gleichung aufstelle. Wie mache ich das
> > aber nun richtig, da ich ja inhomogene DGL habe?
> > zur a)
> > Mein Ansatz wäre nun erstmal, dass wir die homogene
> DGL
> > u''=0 betrachten und die dazugehörige char. Gleichung
> > [mm]\lambda^2=0[/mm] mit der doppelten Nullstelle [mm]\lambda=0 [/mm].
> >
> > daraus erhalten wir das Fundamentalsystem x,1 ...stimmt das
>
>
> Ja, das stimmt.
>
>
> > so und wenn ja wie mache ich dann weiter?
> >
> > zur b)
> > Durch die Kettenregel kann ich das ja dann
> umschreiben:
> > (xu')'=f(x)=u''x+u'
> >
> > wenn ich aber nun die charakt.Gleichung erstellen will
> > weiß ich nicht wie ich das mit dem x machen muss?
> >
>
>
> Substituiere hier z=u', dann erhältst Du eine DGL 1.
> Ordnung.
> Die Lösung dieser DGLermittelst Du durch Trennung der
> Variablen.
Okay, das habe ich gemacht, dann erhalte ich für u:
[mm] $u(x)=C_1*ln(C_2*x)$
[/mm]
Jedoch weiß ich hier nicht, wie ich von hier auf die Darstellung [mm] $\{v_1,v_2\}$ [/mm] kommen soll, also meine Fundamentalbasis, die ich ja zur bestimmung der Green'schen Funktion benötige, sonst wäre das kein Problem!
Vielen Dank!
> Da z=u' substituiert wurde, ist die Lösung der DGL
> 1.Ordnung
> noch einmal zu integrieren.
>
>
> > Liebe Grüße
> >
> > Skunkilein
>
>
> Gruss
> MathePower
Liebe Grüße
Skunki
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Hallo Skunki,
> Hallo MathePower,
> zuerst mal: vielen vielen Dank für deine Antwort!!
>
> > Hallo Skunki,
> >
> > > Guten Abend,
> > >
> > > habe mich nun weiter probiert und auf dieser Seite
> > > ähnliche Aufgaben gefunden.(Der Link ging dann doch,
> > > vielen Dank dafür) Also, erstmal muss ich ein
> > > Fundamentalsystem bestimmen, in dem ich die
> > > charakteristische Gleichung aufstelle. Wie mache ich das
> > > aber nun richtig, da ich ja inhomogene DGL habe?
> > > zur a)
> > > Mein Ansatz wäre nun erstmal, dass wir die homogene
> > DGL
> > > u''=0 betrachten und die dazugehörige char. Gleichung
> > > [mm]\lambda^2=0[/mm] mit der doppelten Nullstelle [mm]\lambda=0 [/mm].
> >
> >
> > > daraus erhalten wir das Fundamentalsystem x,1 ...stimmt das
> >
> >
> > Ja, das stimmt.
> >
> >
> > > so und wenn ja wie mache ich dann weiter?
> > >
> > > zur b)
> > > Durch die Kettenregel kann ich das ja dann
> > umschreiben:
> > > (xu')'=f(x)=u''x+u'
> > >
> > > wenn ich aber nun die charakt.Gleichung erstellen will
> > > weiß ich nicht wie ich das mit dem x machen muss?
> > >
> >
> >
> > Substituiere hier z=u', dann erhältst Du eine DGL 1.
> > Ordnung.
> > Die Lösung dieser DGLermittelst Du durch Trennung der
> > Variablen.
>
> Okay, das habe ich gemacht, dann erhalte ich für u:
> [mm]u(x)=C_1*ln(C_2*x)[/mm]
>
Poste dazu Deine Rechenschritte.
> Jedoch weiß ich hier nicht, wie ich von hier auf die
> Darstellung [mm]\{v_1,v_2\}[/mm] kommen soll, also meine
> Fundamentalbasis, die ich ja zur bestimmung der Green'schen
> Funktion benötige, sonst wäre das kein Problem!
>
> Vielen Dank!
> > Da z=u' substituiert wurde, ist die Lösung der DGL
> > 1.Ordnung
> > noch einmal zu integrieren.
> >
> >
> > > Liebe Grüße
> > >
> > > Skunkilein
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Liebe Grüße
> Skunki
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 13.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Okay, also ich habe nach der Substitution von $z:=u'$:
$(xz)'=x'z+xz'=z+xz'=0$
[mm] $\gdw x*z+\frac{dz}{dx}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\frac{dz}{z}=-\frac{dx}{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \int{\frac{1}{z}\; dz}=\int{-\frac{1}{x}\; dx}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \ln(z)=\ln(C_1)-\ln(x)=\ln(\frac{C_1}{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow z=u'=\frac{C_1}{x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow u=\int{\frac{C_1}{x}\; dx}=C_1*(\ln(C_2)+\ln(x))=C_1*\ln(C_2*x)$
[/mm]
So habe ich das gelöst.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Skunki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Do 13.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Wenn ich bei der zweiten Integration die Integrationskonstante einfach so nehme, dass:
[mm] $u(x)=C_1(\ln(x)+C_2)=C_1*\ln(x)+C_1*C_2$
[/mm]
Kann ich dann sagen, dass ich das Fundamentalsystem [mm] $\{\ln(x),1\}$ [/mm] habe, oder geht das nicht so einfach?
Vielen Dank
Liebe Grüße
Skunki
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Hallo Skunki,
> Okay, also ich habe nach der Substitution von [mm]z:=u'[/mm]:
> [mm](xz)'=x'z+xz'=z+xz'=0[/mm]
> [mm]\gdw x*z+\frac{dz}{dx}=0[/mm]
> [mm]\gdw\frac{dz}{z}=-\frac{dx}{x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \int{\frac{1}{z}\; dz}=\int{-\frac{1}{x}\; dx}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \ln(z)=\ln(C_1)-\ln(x)=\ln(\frac{C_1}{x}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow z=u'=\frac{C_1}{x}[/mm]
> [mm]\Rightarrow u=\int{\frac{C_1}{x}\; dx}=C_1*(\ln(C_2)+\ln(x))=C_1*\ln(C_2*x)[/mm]
>
Das muss doch hier so lauten:
[mm]u=\int{\frac{C_1}{x}\; dx}=C_1*\ln(x)+\blue{C_{2}}[/mm]
> So habe ich das gelöst.
>
> Vielen Dank
> Liebe Grüße
> Skunki
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Do 13.12.2012 | | Autor: | Skunki |
> Hallo Skunki,
>
> > Okay, also ich habe nach der Substitution von [mm]z:=u'[/mm]:
> > [mm](xz)'=x'z+xz'=z+xz'=0[/mm]
> > [mm]\gdw x*z+\frac{dz}{dx}=0[/mm]
> >
> [mm]\gdw\frac{dz}{z}=-\frac{dx}{x}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow \int{\frac{1}{z}\; dz}=\int{-\frac{1}{x}\; dx}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow \ln(z)=\ln(C_1)-\ln(x)=\ln(\frac{C_1}{x}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow z=u'=\frac{C_1}{x}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow u=\int{\frac{C_1}{x}\; dx}=C_1*(\ln(C_2)+\ln(x))=C_1*\ln(C_2*x)[/mm]
>
> >
>
> Das muss doch hier so lauten:
>
> [mm]u=\int{\frac{C_1}{x}\; dx}=C_1*\ln(x)+\blue{C_{2}}[/mm]
>
Ja, das habe ich auch gemerkt.
Dann ist mein Fundamentalsystem: [mm] $\{\ln(x),1\}$?
[/mm]
>
>
> > So habe ich das gelöst.
> >
> > Vielen Dank
> > Liebe Grüße
> > Skunki
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Skunki,
> >
> > Das muss doch hier so lauten:
> >
> > [mm]u=\int{\frac{C_1}{x}\; dx}=C_1*\ln(x)+\blue{C_{2}}[/mm]
> >
> Ja, das habe ich auch gemerkt.
> Dann ist mein Fundamentalsystem: [mm]\{\ln(x),1\}[/mm]?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 13.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Vielen Dank für deine Antwort MathePower.
Also Lösung habe ich dann mit dem Fundamentalsystem erhalten:
[mm] $$G(x,t)=\begin{cases}\ln(x)*(\ln(t)-1)&\mbox{ für } 1\leq x\leq t\leq e\\ \ln(t)*(\ln(x)-1)&\mbox{ für } 1\leq t\leq x\leq e\end{cases}$$
[/mm]
Habe das mit Maple mal für ein paar f(x) ausprobiert und scheint zu stimmen.
Noch eine Frage hätte ich.
Gerade zu meinem Fehler bei der Integration.
Warum wird die Integrationskonstante mal als +C und mal als +ln(C) gewählt?
Wird das +ln(C) nur gewählt, wenn links ln(u) steht, damit wir das durch schreiben als Exponent von e sauber gelöst bekommen?
Vielen Dank für eure tolle Hilfe, hat mich sehr viel weiter gebracht!!
Liebe Grüße
Skunki
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Hallo Skunki,
> Vielen Dank für deine Antwort MathePower.
> Also Lösung habe ich dann mit dem Fundamentalsystem
> erhalten:
> [mm]G(x,t)=\begin{cases}\ln(x)*(\ln(t)-1)&\mbox{ für } 1\leq x\leq t\leq e\\ \ln(t)*(\ln(x)-1)&\mbox{ für } 1\leq t\leq x\leq e\end{cases}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Habe das mit Maple mal für ein paar f(x) ausprobiert und
> scheint zu stimmen.
>
> Noch eine Frage hätte ich.
> Gerade zu meinem Fehler bei der Integration.
> Warum wird die Integrationskonstante mal als +C und mal
> als +ln(C) gewählt?
Das ist Geschmacksache.
> Wird das +ln(C) nur gewählt, wenn links ln(u) steht,
> damit wir das durch schreiben als Exponent von e sauber
> gelöst bekommen?
>
> Vielen Dank für eure tolle Hilfe, hat mich sehr viel
> weiter gebracht!!
>
> Liebe Grüße
> Skunki
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:07 Do 13.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Also ich habe jetzt nochmal versucht mich anhand des Links weiterzuarbeiten:
a)
Wir haben das Fundamentalsystem [mm] $\{1,x\}=:\{u_1,u_2\}$ [/mm] und genau wie im Beispiel ergibt sich daraus:
[mm] $\pmat{R_1u_1&R_1u_2\\R_1u_2&R_2u_2}=\pmat{u_1(0)&u_2(0)\\u_1(1)&u_2(1)}=\pmat{1&0\\1&1}$ [/mm] Da diese Matrix regulär ist, ist die Homogene DGL nur trivial Lösbar und es existiert eine Green'sche Funktion.
Für das modifizierte Fundamentalsystem (muss man so wie ich verstanden habe aus Lin-Komb. von [mm] $u_1,u_2$ [/mm] darstellen, oder täusche ich mich?) erhalte ich:
[mm] $\{x,x-1\}=:\{v_1,v_2\}$ [/mm] für das gilt [mm] $R_1v_1=R_2v_2=0$
[/mm]
Aber wie komme ich nun auf die Green'sche Matrix?
Vorallem kommt mir das hier etwas seltsam vor, da wir ja andere Randbedingunen haben und eine andere DGL.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Skunki
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Do 13.12.2012 | | Autor: | Skunki |
Entschuldigung, dass ich hier eine Frage nach der anderen poste.
Ich habe mir jetzt nochmal Gedanken gemacht.
Also habe ich bis jetzt folgendes:
Wir haben ja die Fundamentalbasis [mm] $\{1,x\}:=\{y_1,y_2\}$.
[/mm]
Außerdem sind unsere Randbedingungen:
[mm] $R_1u=u(0)=0,\qquad [/mm] R_2u=u'(1)=0$
Somit erhalten wir:
[mm] $\pmat{R_1y_1&R_1y_2\\R_2y_2&R_2y_2}=\pmat{y_1(0)&y_2(0)\\y_1'(1)&y_2'(1)}=\pmat{1&0\\0&1}=:A$
[/mm]
Da [mm] $\det(A)=1\neq [/mm] 0$, besitzt die homogene DGL nur die triviale Lösung [mm] $u\equiv [/mm] 0$.
Da [mm] $R_1y_1= R_2y_2=1\neq [/mm] 0$ definieren neue Funktionen [mm] $v_1,v_2$ [/mm] durch:
[mm] $\pmat{v_1\\v_2}=\pmat{R_1y_2&-R_1y_1\\R_2y_2&-R_2y_1}*\pmat{y_1\\y_2}=\pmat{-x\\-1}\Rightarrow v_1=-x, v_2=-1$
[/mm]
Da [mm] $v_1,v_2$ [/mm] Lin.komb. von [mm] $y_1,y_2$ [/mm] sin, lösen sie ebenfalls die homogene Gleichung und sie bilden sogar ein Fundamentalsystem.
Außerdem erfüllen sie die Randbedingungen:
[mm] $R_1v_1=v_1(0)=0,\qquad R_2v_2=v_2'(1)=0$
[/mm]
Wir bestimmen die Wronskideterminante:
[mm] $W(x):=\det(\pmat{v_1(x)&v_2(x)\\v_1'(x)&v_2'(x)})=-1$
[/mm]
Somit erhalten wir die Green'sche Funktion [mm] G:$$G(x,t):=\begin{cases}\frac{v_1(x)v_2(t)}{W(0)}&\mbox{ für }0\leq x\leq t \leq 1\\ \frac{v_1(t)v_2(x)}{W(0)}&\mbox{ für } 0\leqt\leqx\leq 1\end{cases}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow G(x,t)=\begin{cases}-x &\mbox{ für }0\leq x\leq t \leq 1\\ -t &\mbox{ für } 0\leq t\leq x\leq 1\end{cases}$
[/mm]
Stimmt das?
Würde mich sehr freuen, wenn hier nur schnell jemand drüber schauen könnte und sagen könnte, ob das stimmt, oder totaler Humbug ist.
Vielen Dank
Liebe Grüße
Skunki
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Hallo Skunki,
> Entschuldigung, dass ich hier eine Frage nach der anderen
> poste.
> Ich habe mir jetzt nochmal Gedanken gemacht.
> Also habe ich bis jetzt folgendes:
> Wir haben ja die Fundamentalbasis [mm]\{1,x\}:=\{y_1,y_2\}[/mm].
> Außerdem sind unsere Randbedingungen:
> [mm]R_1u=u(0)=0,\qquad R_2u=u'(1)=0[/mm]
> Somit erhalten wir:
>
> [mm]\pmat{R_1y_1&R_1y_2\\R_2y_2&R_2y_2}=\pmat{y_1(0)&y_2(0)\\y_1'(1)&y_2'(1)}=\pmat{1&0\\0&1}=:A[/mm]
> Da [mm]\det(A)=1\neq 0[/mm], besitzt die homogene DGL nur die
> triviale Lösung [mm]u\equiv 0[/mm].
> Da [mm]R_1y_1= R_2y_2=1\neq 0[/mm]
> definieren neue Funktionen [mm]v_1,v_2[/mm] durch:
>
> [mm]\pmat{v_1\\v_2}=\pmat{R_1y_2&-R_1y_1\\R_2y_2&-R_2y_1}*\pmat{y_1\\y_2}=\pmat{-x\\-1}\Rightarrow v_1=-x, v_2=-1[/mm]
>
> Da [mm]v_1,v_2[/mm] Lin.komb. von [mm]y_1,y_2[/mm] sin, lösen sie ebenfalls
> die homogene Gleichung und sie bilden sogar ein
> Fundamentalsystem.
> Außerdem erfüllen sie die Randbedingungen:
> [mm]R_1v_1=v_1(0)=0,\qquad R_2v_2=v_2'(1)=0[/mm]
> Wir bestimmen die
> Wronskideterminante:
> [mm]W(x):=\det(\pmat{v_1(x)&v_2(x)\\v_1'(x)&v_2'(x)})=-1[/mm]
> Somit erhalten wir die Green'sche Funktion
> [mm]G:$$G(x,t):=\begin{cases}\frac{v_1(x)v_2(t)}{W(0)}&\mbox{ für }0\leq x\leq t \leq 1\\ \frac{v_1(t)v_2(x)}{W(0)}&\mbox{ für } 0\leqt\leqx\leq 1\end{cases}$[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow G(x,t)=\begin{cases}-x &\mbox{ für }0\leq x\leq t \leq 1\\ -t &\mbox{ für } 0\leq t\leq x\leq 1\end{cases}[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja, das stimmt.
> Würde mich sehr freuen, wenn hier nur schnell jemand
> drüber schauen könnte und sagen könnte, ob das stimmt,
> oder totaler Humbug ist.
>
> Vielen Dank
>
> Liebe Grüße
> Skunki
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 14.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Do 13.12.2012 | | Autor: | DerBaum |
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