Greensche Funktion < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei ein Halbraum (Grenze x=0) mit einer Punktquelle an der Stelle [mm] r'=\vektor{d \\ d \\ 0}. [/mm]
Bestimmen sie mit [mm] \Delta [/mm] G(r,r´)=-4 [mm] \pi \delta(r-r´) [/mm] die Greensche Funktion
G(r, [mm] r´)=\bruch{1}{||r-r´||}+F [/mm]
a) für G(x=0)=0
b) für [mm] \bruch{\partial}{\partial x}G(x=0) [/mm] = 0 |
Hallo,
ich habe Probleme mit oben stehender Aufgabe.
ich weiß, dass es sich im Fall a) um ein dirichletsches Randwertproblem handelt.
Ich muss also zunächst ein F suchen, dass der Laplacheschen Gleichung genügt und die gegebene Randbedingung erfüllt. Auf dem Rand (x=0) soll G=0 sein, also
G(r, [mm] r´)=\bruch{1}{\sqrt{d^2+(y-d)^2+z^2}}+F(r, [/mm] r´) =0 mit [mm] r'=\vektor{d \\ d \\ 0}. [/mm]
Das kann ich jetzt nach F umstellen:
F(r, [mm] r´)=\bruch{-1}{\sqrt{d^2+(y-d)^2+z^2}}
[/mm]
Wenn ich F aber so wähle egalisieren sich die Felder nun im gesamten Raum, oder? Ich vermute mal stark dass ich irgendwo ein Verständnisproblem habe, wo liegt also mein Fehler?
für Aufgabenteil b) muss ich nun ein Neumannsches Randwertproblem lösen.
Allerdings werde ich daraus absolut nicht schlau. Aus [mm] \bruch{\partial}{\partial x}G(x=0) [/mm] = 0 folgt, dass G konstant auf dem Rand sein muss. Allerdings weiß ich nicht, was ich damit jetzt anfangen kann und wie es weitergeht und wäre für Tipps dankbar.
Gruß und Danke für eure Hilfe
becks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Di 07.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich verstehe dein Problem nicht. Ist doch richtig so wie dus machst. Bei der b.) hald die Ableitung nach x Null setzen.
Was meinst du mit egalisieren...?
So siehts aus, man sieht das für x = 0 für alle y das Potential Null ist (z Komponente weggelassen).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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was ich meine ist, dass wenn ich jetzt F in G einsetze erhalte ich
G(r [mm] )=\bruch{1}{\sqrt{d^2+(y-d)^2+z^2}}+ \bruch{-1}{\sqrt{d^2+(y-d)^2+z^2}} [/mm] =0 für alle r das meinte ich mit egalisieren. Das passt aber denn natürlich nicht, also wo liegt der fehler? ich nehme mal an dass ich irgendwas mit dem r' durcheinandergebracht oder nicht verstanden habe.
Danke schonmal für deine Hilfe
Gruß
becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mi 08.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ja du machst einen Flüchtigkeitsfehler. Es gibt sicher nich Null!:
G(r) = [mm] \bruch{1}{\sqrt{(x-d)^{2} + (y-d)^{2} + z^{2}}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\sqrt{d^2+(y-d)^2+z^2}} [/mm]
Gruss
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Oh ja natürlich, dass ich das nicht selber gesehen habe, Vielen Dank!
jetzt nochmal zum Teil b):
ich differenziere [mm] \bruch{\partial}{\partial x}G(r,r') [/mm]
und setze mit [mm] r'=\vektor{d \\ d \\ 0} [/mm] und [mm] r=\vektor{0 \\ y \\ z}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}G(r, r')=\bruch{d}{\sqrt{(d^2+(y-d)^2+z^2})^3}+ \bruch{\partial}{\partial x}F(r, [/mm] r') =0
darauf folgt dann
[mm] \bruch{\partial}{\partial x}F(r, [/mm] r')=- [mm] \bruch{d}{\sqrt{(d^2+(y-d)^2+z^2})^3}
[/mm]
sowie
F(r, r')=- [mm] \bruch{d}{\sqrt{(d^2+(y-d)^2+z^2})^3}x [/mm] +C(y,z)
und schließlich für G
G(r, [mm] r´)=\bruch{1}{\sqrt{(x-d)^2+(y-d)^2+z^2}} [/mm] - [mm] \bruch{d}{\sqrt{(d^2+(y-d)^2+z^2})^3}x [/mm] +C(y,z)
Ich sehe nun aber keine Möglichkeit C(y,z) zu bestimmen, da ich dafür ja Randbedingungen für G benötigen würde (die ich nicht habe) oder übersehe ich da irgendwas? Ich würde evtl. noch G(x=0) als konstant annehmen und somit C(x,y)=-G(x=0)+D setzen, aber das gibt die Aufgabe ja an und für sich nicht her, oder?
Danke für deine Hilfe
becks
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mi 08.06.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
> G(r, [mm]r´)=\bruch{1}{\sqrt{(x-d)^2+(y-d)^2+z^2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{d}{\sqrt{(d^2+(y-d)^2+z^2})^3}x[/mm] +C(y,z)
>
> Ich sehe nun aber keine Möglichkeit C(y,z) zu bestimmen,
> da ich dafür ja Randbedingungen für G benötigen würde
> (die ich nicht habe) oder übersehe ich da irgendwas? Ich
> würde evtl. noch G(x=0) als konstant annehmen und somit
> C(x,y)=-G(x=0)+D setzen, aber das gibt die Aufgabe ja an
> und für sich nicht her, oder?
Entweder die Potentiale auf einem Rand sind vorgegeben (Dirichlet) oder die Felder an bestimmten Stellen (Neuman). Frag mich jetzt nicht, viele Anfangsbedingungen genau benötig werden (bzw. ob z.B. der Rand abgeschlossen sein muss oder wie auch immer).
Aber ich sehe auch keine Möglichkeit. Macht ja aber eigentlich auch Sinn, denn:
Das Potential hat einen Freheitsgrad C(y,z). D.h. das Potential varriert nicht in x Richtung, und somit wird das E-Feld in x-Richtung für verschiedene C(y,z) auch nicht verändert bzw. die Randbedingung gilt stets.
Grüsse
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Ja, das leuchtet mir ein.
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß
becks
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