Green'sche Funktion < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mi 26.01.2011 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Lösen Sie die inhomogene RWA
u'' + u = [mm] e^x, x\in [/mm] [0,1]
u(0)=u(1)=0,
a) mit Hilfe der homogenen und einer speziellen Lösung der inhomogenen DGL,
b) mit Hilfe der Greenschen Funktion. |
Zur a)
Da habe ich als Lösung:
[mm] u(x)=-\bruch{1}{2}cos(x)+\bruch{\bruch{1}{2}(cos(1)-e)}{sin(1)}*sin(x)+\bruch{1}{2}*e^x
[/mm]
zur b)
Dazu habe ich mir mal ein Beispiel angeguckt: y''-y=r(x), y(0)=0, y(1)=0
zunächst bestimmt man ja das Fundamentalsystem der hom. Gl., das wäre [mm] y_1=e^x, y_2=e^{-x}, [/mm] die [mm] det(R_i(y_j))_{i,j} [/mm] ist [mm] \not=0 [/mm] damit ist die Lsg. eindeutig.
Es ergibt sich das Fundamentalsystem [mm] (u_1,u_2) [/mm] der homogenen DGL:
[mm] u_1(0)=u_2(1)=1 [/mm] und [mm] u_1(1)=u_2(0)=0
[/mm]
So und jetzt kommt der Teil, den ich nicht verstehe:
Es geht weiter mit: Man erhält es durch geeignete Linearkombination aus [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2. [/mm] Hier ergibt sich [mm] u_1=\bruch{sinh(1-x)}{sinh(1)}, u_2=\bruch{sinh(x)}{sinh(1)}. [/mm]
Ich habe das nachgerechnet und es erfüllt die Bedingungen [mm] u_1(0)=u_2(1)=1 [/mm] und [mm] u_1(1)=u_2(0)=0. [/mm] Aber tut es das nicht auch, wenn man statt sinh, sin nimmt? Und wie kommt man auf [mm] u_1, u_2, [/mm] das kann man doch nicht einfach raten?!
Zurück zu meiner Aufgabe. Da habe ich das gleiche Problem, ich habe die det berechnet und diese ist [mm] \not=0 [/mm] also Lsg. eindeutig.
Wie komme ich da nun auf die Lsg von [mm] u_1, u_2 [/mm] ??
Als reelles Fundamtenalsystem habe ich (cos(x), sin(x)).
DANKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Do 27.01.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie die inhomogene RWA
> u'' + u = [mm]e^x, x\in[/mm] [0,1]
> u(0)=u(1)=0,
>
> a) mit Hilfe der homogenen und einer speziellen Lösung der
> inhomogenen DGL,
> b) mit Hilfe der Greenschen Funktion.
> Zur a)
> Da habe ich als Lösung:
>
> [mm]u(x)=-\bruch{1}{2}cos(x)+\bruch{\bruch{1}{2}(cos(1)-e)}{sin(1)}*sin(x)+\bruch{1}{2}*e^x[/mm]
>
> zur b)
> Dazu habe ich mir mal ein Beispiel angeguckt: y''-y=r(x),
> y(0)=0, y(1)=0
> zunächst bestimmt man ja das Fundamentalsystem der hom.
> Gl., das wäre [mm]y_1=e^x, y_2=e^{-x},[/mm] die [mm]det(R_i(y_j))_{i,j}[/mm]
> ist [mm]\not=0[/mm] damit ist die Lsg. eindeutig.
> Es ergibt sich das Fundamentalsystem [mm](u_1,u_2)[/mm] der
> homogenen DGL:
> [mm]u_1(0)=u_2(1)=1[/mm] und [mm]u_1(1)=u_2(0)=0[/mm]
>
> So und jetzt kommt der Teil, den ich nicht verstehe:
> Es geht weiter mit: Man erhält es durch geeignete
> Linearkombination aus [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2.[/mm] Hier ergibt sich
> [mm]u_1=\bruch{sinh(1-x)}{sinh(1)}, u_2=\bruch{sinh(x)}{sinh(1)}.[/mm]
>
> Ich habe das nachgerechnet und es erfüllt die Bedingungen
> [mm]u_1(0)=u_2(1)=1[/mm] und [mm]u_1(1)=u_2(0)=0.[/mm] Aber tut es das nicht
> auch, wenn man statt sinh, sin nimmt?
Es müssen doch Linearkombinationen aus [mm] $y_1=e^x$ [/mm] und [mm] $y_2=e^{-x}$ [/mm] sein.
> Und wie kommt man auf
> [mm]u_1, u_2,[/mm] das kann man doch nicht einfach raten?!
Nein, du setzt [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] als Linearkombination von [mm] $y_1$ [/mm] und [mm] $y_2$ [/mm] an:
[mm] u_1(x) = c_1e^x+c_2e^{-x} [/mm]
und setzt die Randbedingungen [mm] $u_1(0)=1$ [/mm] und [mm] $u_1(1)=0$ [/mm] ein:
[mm] c_1+c_2 = 1 [/mm] und [mm] c_1*e + c_2*e^{-1} = 0 [/mm] ,
ebenso für [mm] $u_2$.
[/mm]
Der Rest ist nur geschickte Umformung: [mm] \sinh x = \bruch{1}{2}\left( e^x-e^{-x}\right) [/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Peon |
Ahh, ok! Danke.
Ich komme dann bei der Aufgabe mit [mm] u''+u=e^x [/mm] (nicht das Beispiel) auf [mm] v_1(x)=cos(x)-\bruch{cos(1)}{sin(1)}*sin(x) [/mm] und
[mm] v_2(x)=\bruch{sin(x)}{sin(1)}
[/mm]
und erhalte damit [mm] c=p(x)[v_1'(x)v_2(x)-v_1(x)v_2'(x)]=-\bruch{1}{sin(1)}, [/mm] stimmt das?
Damit kann ich jetzt die Green'sche Fkt. bestimmen?!
EDIT:
Damit erhalte ich die Green'sche Fkt.:
[mm] g(x,s)=\begin{cases} -cos(x)sin(s)+\bruch{cos(1)sin(x)sin(s)}{sin(1)}, & \mbox{für } 0\le x \le s \le1 \\ -cos(s)sin(x)+\bruch{cos(1)sin(x)sin(s)}{sin(1)}, & \mbox{für } 0\le s < x \le1 \end{cases}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo Peon,
> Ahh, ok! Danke.
>
> Ich komme dann bei der Aufgabe mit [mm]u''+u=e^x[/mm] (nicht das
> Beispiel) auf [mm]v_1(x)=cos(x)-\bruch{cos(1)}{sin(1)}*sin(x)[/mm]
> und
> [mm]v_2(x)=\bruch{sin(x)}{sin(1)}[/mm]
>
> und erhalte damit
> [mm]c=p(x)[v_1'(x)v_2(x)-v_1(x)v_2'(x)]=-\bruch{1}{sin(1)},[/mm]
> stimmt das?
> Damit kann ich jetzt die Green'sche Fkt. bestimmen?!
>
> EDIT:
>
> Damit erhalte ich die Green'sche Fkt.:
>
> [mm]g(x,s)=\begin{cases} -cos(x)sin(s)+\bruch{cos(1)sin(x)sin(s)}{sin(1)}, & \mbox{für } 0\le x \le s \le1 \\ -cos(s)sin(x)+\bruch{cos(1)sin(x)sin(s)}{sin(1)}, & \mbox{für } 0\le s < x \le1 \end{cases}[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Peon |
Habe jetzt auch die Lösung der DGL mittles Green#scher Fkt. raus bekommen, war ein wenig mühsam, die ganzen Integrale auszurechen...
DANkE
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