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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:50 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Klempner |
| Aufgabe | Zeigen Sie für drei Vektoren a, b, c in [mm] R^{3} [/mm] die in der Physik häufig nützliche Grassmann-
Identität:
a × (b × c) = b<a,c> − c<a,b> |
Hallo,
ich habe versucht diesen Ausdruck zu zeigen, indem ich für die Vektoren jeweils [mm] \vektor{a1 \\ a2\\ a3}etc. [/mm] eingesetzt habe und jeweils für sich gesehen die linke und die rechte Seite berechnet habe.
Ich bekomme auch die gleichen Ausdrücke heraus, nur sind die Vorzeichen genau unterschiedlich. Hat jemand eine Ahnung wo mein Fehler liegt?
links kommt heraus:
[mm] \vektor{a3b3c1 - a3b1c3 - a2b1c2+ a2b2c1 \\ -a3b2c3 + a3b3c2 + a1b1c2 - a1b2c1\\ a2b2c3 - a2b3c2 - a1b3c1 + a1b1c3}
[/mm]
und rechts erhalte ich:
[mm] \vektor{a2b1c2 + b1a3c3 - a2b2c1 - a3b3c1 \\ a1b2c1 + a3b2c3 - a1b1c2 - a3b3c2\\ a1b3c1 + a2b3c2 - c1b1c3 - a2b2c3}
[/mm]
Kann mir jemand meinen Fehler zeigen?
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Hallo Klempner,
> Zeigen Sie für drei Vektoren a, b, c in [mm]R^{3}[/mm] die in der
> Physik häufig nützliche Grassmann-
> Identität:
> a × (b × c) = b<a,c> − c<a,b>
> Hallo,
>
> ich habe versucht diesen Ausdruck zu zeigen, indem ich für
> die Vektoren jeweils [mm]\vektor{a1 \\
a2\\
a3}etc.[/mm] eingesetzt
> habe und jeweils für sich gesehen die linke und die rechte
> Seite berechnet habe.
> Ich bekomme auch die gleichen Ausdrücke heraus, nur sind
> die Vorzeichen genau unterschiedlich. Hat jemand eine
> Ahnung wo mein Fehler liegt?
Ohne deine Rechnung zu sehen?
Wohl kaum!
> links kommt heraus:
>
> [mm]\vektor{a3b3c1 - a3b1c3 - a2b1c2+ a2b2c1 \\
-a3b2c3 + a3b3c2 + a1b1c2 - a1b2c1\\
a2b2c3 - a2b3c2 - a1b3c1 + a1b1c3}[/mm]
Hier stimmt die erste Zeile schon nicht.
Ich habe es nach "Schema F" herunter gerechnet und komme auf
[mm]a_2b_1c_2-a_2b_2c_1-a_3b_3c_1+a_3b_1c_3[/mm]
Dies entspricht deiner ersten Zeile deiner rechten Seite.
Daher liegt die Vermutung nahe, dass du dich beim Kreuzprodukt verrechnet hast.
Rechne zuerst das Kreuzprodukt in der Klammer aus, dann [mm]a\times \text{Ergebnis}[/mm]
Rechne hier vor, wenn du konkrete Korrektur möchtest.
>
> und rechts erhalte ich:
>
> [mm]\vektor{a2b1c2 + b1a3c3 - a2b2c1 - a3b3c1 \\
a1b2c1 + a3b2c3 - a1b1c2 - a3b3c2\\
a1b3c1 + a2b3c2 - c1b1c3 - a2b2c3}[/mm]
>
> Kann mir jemand meinen Fehler zeigen?
Auf deinem Schmierblatt in Zeile 5, Zeichen 37 ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 So 05.06.2011 | | Autor: | Klempner |
okay, habe die Aufgabe nocheinmal gerechnet und komme wieder auf mein Ergebnis von eben.
Anscheinend muss der Fehler auf der linken Seite liegen.
Als erstes habe ich das Kreuzprodukt von [mm] \vec{b} [/mm] x [mm] \vec{c}
[/mm]
berechnet. Dort erhalte [mm] ich:\vektor{b2c3-b3c2 \\ -(b1c3 - b3c1) \\ b1c2 - b2c1} [/mm] = [mm] \vektor{b2c3-b3c2 \\ b3c1 - b1c3 \\ b1c2 - b2c1}
[/mm]
Dann habe ich das Ergebnis mit dem [mm] \vec{a} [/mm] als Kreuzprodukt verrechnet.
Dort erhalte ich:
[mm] \vektor{(b3c1 - b1c3)a3 - (b1c2 - b2c1)a2 \\ -[(b2c3 - b3c2)a3 - (b1c2 - b2c1)a1] \\ (b2c3 - b3c2)a2 - (b3c1 - b1c3)a1}
[/mm]
ausgerechnet ergibt das bei mir:
[mm] \vektor{a3b3c1 - a3b1c3 - a2b1c2+ a2b2c1 \\
-a3b2c3 + a3b3c2 + a1b1c2 - a1b2c1\\
a2b2c3 - a2b3c2 - a1b3c1 + a1b1c3}
[/mm]
Keine Ahnung, was ich mache, dass die Vorzeichen nicht stimmen.
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Hallo nochmal,
> okay, habe die Aufgabe nocheinmal gerechnet und komme
> wieder auf mein Ergebnis von eben.
>
> Anscheinend muss der Fehler auf der linken Seite liegen.
> Als erstes habe ich das Kreuzprodukt von [mm]\vec{b}[/mm] x [mm]\vec{c}[/mm]
>
> berechnet. Dort erhalte [mm]ich:\vektor{b2c3-b3c2 \\
-(b1c3 - b3c1) \\
b1c2 - b2c1}[/mm]
> = [mm]\vektor{b2c3-b3c2 \\
b3c1 - b1c3 \\
b1c2 - b2c1}[/mm]
Schön lesbare Indizes kannst du mit dem Unterstrich _ machen:
Etwa b_3 für [mm]b_3[/mm]
>
> Dann habe ich das Ergebnis mit dem [mm]\vec{a}[/mm] als Kreuzprodukt
> verrechnet.
Aber du rechnest hier: [mm](b\times c)\times a[/mm]
Sollst aber rechnen [mm]a\times (b\times c)[/mm]
Das ist nicht dasselbe!
Das Kreuzprodukt ist nicht kommutativ, sondern antikommutativ, dh. es gilt
[mm]x\times y=\red{-} \ (y\times x)[/mm]
Daher wird der VZF kommen ...
Rechne nochmal [mm]a\times (b\times c)[/mm] aus ...
> Dort erhalte ich:
> [mm]\vektor{(b3c1 - b1c3)a3 - (b1c2 - b2c1)a2 \\
-[(b2c3 - b3c2)a3 - (b1c2 - b2c1)a1] \\
(b2c3 - b3c2)a2 - (b3c1 - b1c3)a1}[/mm]
>
> ausgerechnet ergibt das bei mir:
> [mm]\vektor{a3b3c1 - a3b1c3 - a2b1c2+ a2b2c1 \\
-a3b2c3 + a3b3c2 + a1b1c2 - a1b2c1\\
a2b2c3 - a2b3c2 - a1b3c1 + a1b1c3}[/mm]
>
> Keine Ahnung, was ich mache, dass die Vorzeichen nicht
> stimmen.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 So 05.06.2011 | | Autor: | Klempner |
ah, natürlich! Danke dir.
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