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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo alle zusammen!
Ich bereite mich auf die Klausur vor, und bin bei der folgenden Aufgabe sehr verwirrt.
Ich habe 3 Vektoren über [mm] \IC [/mm] gegeben, und soll die Orthogonalbasis des [mm] \IC^{3} [/mm] (mit Standartskalarprodukt) bestimmen, die aus [mm] {u_{1}, u_{2}, u_{3}} [/mm] mittels des Gram-Schmidt-Verfahrens hervorgeht.
[mm] u_{1} [/mm] ist gleich (1, i, 0) und dabei tritt gleich das erste Problem auf. Um [mm] v_{1} [/mm] zu erhalten muß ich ja jetzt [mm] \bruch{(1, i, 0)}{||(1, i, 0)||} [/mm] rechnen, komme dabei allerdings im Nenner auf 0 (1*1+i*i+0*0). In der Vorlesung habe ich dann noch etwas für das Skalarprodukt über [mm] \IC [/mm] gelesen, und habe dann versucht mit Realteil und Imaginärteil zu arbeiten, bin dabei allerdings auch nicht weitergekommen.
Es gibt ja dann auch noch etwas mit einer Summe von 1 bis 4, aber das kann doch unmöglich der Weg zur Lösung sein!? Dann komme ich ja bei drei Vektoren sonstwo hin.
Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte,
mfG Olek
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:34 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Olek!
Ein Skalarprodukt eines unitären Vektorraumes ist eine Semibilinearform. D.h., dass, entgegen der Definition einer Bilinearform und eines Skalarproduktes in euklidischen Vektorraumes, folgendes gilt:
Für [mm] $v,w\in [/mm] V$ und [mm] $\lambda\in\IC$ [/mm] gilt [mm] $\langle v,\lambda w\rangle [/mm] = [mm] \overline{\lambda}\langle v,w\rangle$. [/mm]
Die übrigen Definitionen wurden von Bilinearformen übernommen.
Was bedeutet dies? Nun, sei $V$ n-dimensional und [mm] $B:=\{v_1,...,v_n\}$ [/mm] eine Orthonormalbasis von $V$, so gilt für einen Vektor [mm] $v=\summe_{i=1}^{n}\lambda_i v_i$: $\langle v,v\rangle [/mm] = [mm] \left\langle\summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i,\summe_{i=1}^{n} \lambda_i v_i\right\rangle=\summe_{1\leq i,j\leq n} \langle \lambda_i v_i, \lambda_j v_j\rangle [/mm] $
[und jetzt kommt der entscheidende Schritt, in dem die Semibilinearität von [mm] $\langle,\rangle$ [/mm] ins Spiel kommt]
[mm] $=\summe_{1\leq i,j\leq n} \lambda_i \overline{\lambda_j} \langle v_i,v_j\rangle [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_i\overline{\lambda_i}$
[/mm]
[mm] $=\summe_{i=1}^{n} \vert\lambda_i\vert^2$.
[/mm]
Das heißt also, dass du beim Berechnen des Standarskalarprodukte in einem unitären Vektorraum nicht einfach die Komponenten der betroffenen Vektoren multiplizieren musst, sondern die Komponente des einen Vektors mit der komplex konjugierten Komponente zu multiplizieren hast.
Übertragen auf dein Beispiel bedeutet dies, dass
[mm] $\Vert (1,i,0)\Vert [/mm] = [mm] \sqrt{\langle (1,i,0),(1,i,0)\rangle} [/mm] = [mm] \sqrt{1\cdot\overline{1}+i\cdot\overline{i}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
[/mm]
gilt.
Ich hoffe ich konnte dir helfen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Olek |
Schönen Dank für diese sehr ausführliche Antwort. Jetzt kann ich nicht nur die Aufgabe lösen, sondern habs sogar verstanden :)
MfG, Olek
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