Gradientenvektorfelder < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Sa 21.09.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Man untersuche, welche der folgenden Vektorfelder Gradientenvektorfelder sind, und bestimme gegebenfalls die Stammfunktion
g(x,y,z) = ( x+yz, [mm] xz+\bruch{z^2}{2},xy+yz) [/mm] |
Hallo,
[mm] \bruch{dg1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{dg2}{dx}
[/mm]
z = z (wahr)
[mm] \bruch{dg1}{z} [/mm] = [mm] \bruch{dg3}{dx}
[/mm]
y = y (wahr)
[mm] \bruch{dg2}{z} [/mm] = [mm] \bruch{dg3}{dy}
[/mm]
x=x(wahr)
daraus folgt dass es ein Gradientenvektorfeld ist.
Es muss gelten:
[mm] \integral [/mm] g1 dx = [mm] \integral [/mm] g3 dz
[mm] \bruch{1}{2}x^2+xyz+c(y,z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}z^2y+xyz+c(x,y)
[/mm]
und nun weiß ich nicht mehr weiter, ist es bis hierhin richtig kann mir jmd helfen?
Lg
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Hallo,
> Man untersuche, welche der folgenden Vektorfelder
> Gradientenvektorfelder sind, und bestimme gegebenfalls die
> Stammfunktion
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> g(x,y,z) = ( x+yz, [mm]xz+\bruch{z^2}{2},xy+yz)[/mm]
> Hallo,
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> [mm]\bruch{dg1}{y}[/mm] = [mm]\bruch{dg2}{dx}[/mm]
>
> z = z (wahr)
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> [mm]\bruch{dg1}{z}[/mm] = [mm]\bruch{dg3}{dx}[/mm]
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> y = y (wahr)
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> [mm]\bruch{dg2}{z}[/mm] = [mm]\bruch{dg3}{dy}[/mm]
>
> x=x(wahr)
>
> daraus folgt dass es ein Gradientenvektorfeld ist.
Ja somit ist dies ein Gradientenfeld. ( Die Bezeichnung dg1, dg2 etc ist nicht so geschickt gewählt ... )
>
> Es muss gelten:
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> [mm]\integral[/mm] g1 dx = [mm]\integral[/mm] g3 dz
>
> [mm]\bruch{1}{2}x^2+xyz+c(y,z)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}z^2y+xyz+c(x,y)[/mm]
>
G(x,y,z) = [mm] \integral{x+yz dx}+c(y,z) [/mm] , wobei c(y,z) eine diffbare Funktion sein muss.
Finde c(y,z) nun durch ableiten.
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> und nun weiß ich nicht mehr weiter, ist es bis hierhin
> richtig kann mir jmd helfen?
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> Lg
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Gruß Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 So 22.09.2013 | | Autor: | capri |
Hallo,
wie bist du auf G gekommen?
welches muss ich denn ableiten?
LG
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Hallo,
Ich rechne dir eine andere Aufgabe vor, dann wirst du bestimmt in der Lage sein deine zu lösen.
[mm] \Phi(x,y) = (2xy+x^2 , x^2 + y^2)[/mm]
Ist Kandidat für Gradientenfeld wie man leicht prüfen kann.
Zur Stammfunktion
[mm]\integral{2xy+x^2 dx}+c(y) = \frac{2x^{2}y}{2} + \frac{x^3}{3} + c(y).[/mm]
bezeichnen wir: [mm]\frac{2x^{2}y}{2} + \frac{x^3}{3} + c(y) := H(x,y)[/mm]
Es ist doch:
[mm] \frac{ \partial H}{ \partial y} = x^2 + c'(y)[/mm] , nun sehen wir weiter:
[mm]x^2 + c'(y) = x^2 + y^2 \Rightarrow c'(y) = y^2 \Rightarrow c(y) = \frac{y^3}{3} +c [/mm]
Jetzt Du.
Gruß Thomas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 22.09.2013 | | Autor: | capri |
da du zwei Komponenten hattest habe ich das nach vollzogen aber bei drei wird es schwieriger:
[mm] \bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2yz+c(y,z) [/mm] := G(g,z)
Es ist doch:
[mm] \bruch{dH}{dy} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+c´(y,z), [/mm] nun
[mm] \bruch{1}{6}x^3+\bruch{1}{2}x^2+c´(y,z)
[/mm]
mehr konnte ich nicht weil mich das verwirrt. an deinem Bsp mit nur xy hab ich es verstanden aber mit xyz hmm...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 22.09.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
$G(x,y,z) = [mm] \integral {g_1(x,y,z) dx} [/mm] + [mm] c_1(y,z) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}x^2+xyz+c_1(y,z) [/mm] $ (hast Du schon berechnet)
$G(x,y,z) = [mm] \integral {g_2(x,y,z) dy} [/mm] + [mm] c_2(x,z) [/mm] = [mm] \ldots [/mm] $
$G(x,y,z) = [mm] \integral {g_3(x,y,z) dz} [/mm] + [mm] c_3(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}z^2y+xyz+c_3(x,y) [/mm] $ (hast Du schon berechnet)
$g(x,y,z) = [mm] \vektor{\bruch{ \partial G(x,y,z)}{\partial x} \\ \bruch{ \partial G(x,y,z)}{\partial y} \\ \bruch{ \partial G(x,y,z)}{\partial z} }$
[/mm]
Aus den 3 Ansätzen von $G(x,y,z)$ musst Du eine Funktion zusammenbauen, in der alle Bestandteile vorkommen.
Durch die [mm] $c_i(...)$'s [/mm] ist dies möglich, die dann in $G(x,y,z)$ nicht mehr vorkommen.
Zur Kontrolle dann $G(x,y,z)$ partiell nach jeder Variable differenzieren.
Gruß
meili
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