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| Aufgabe | Welche der folgenden Vektorfelder sind Gradientenvektorfelder? Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Stammfunktion.
a) [mm] f(x,y)=(2xy,x^2-2y)
[/mm]
b) f(x,y)=(sin(x+y),cos(x+y)) |
Hallo,
ich hätte mal eine Frage zu der Aufgabe.
bei a) bilde ich ja zuerst die Stammfunktion nach F
also [mm] F_x=x^2y [/mm] dann [mm] F_y=-y^2+yx^2
[/mm]
was muss ich als nächstes machen?
Ich glaube ich muss jetzt F bestimmen aber wie mache ist das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Welche der folgenden Vektorfelder sind
> Gradientenvektorfelder? Bestimmen Sie gegebenenfalls eine
> Stammfunktion.
>
> a) [mm]f(x,y)=(2xy,x^2-2y)[/mm]
> b) f(x,y)=(sin(x+y),cos(x+y))
> Hallo,
> ich hätte mal eine Frage zu der Aufgabe.
> bei a) bilde ich ja zuerst die Stammfunktion nach F
> also [mm]F_x=x^2y[/mm] dann [mm]F_y=-y^2+yx^2[/mm]
Nein. Wenn F eine Stammfunktion von f ist, so gilt:
(*) [mm] F_x=2xy [/mm] und [mm] F_y=x^2-2y
[/mm]
Aus [mm] F_x=2xy [/mm] folgt: F=x^2y+c(y) mit einer noch zu bestimmenden Funktion c, die nur von y abhängt.
Aus $F=x^2y+c(y)$ folgt: [mm] F_y=x^2+c'(y). [/mm] Wegen (*) bekommen wir:
[mm] x^2+c'(y)=x^2-2y,
[/mm]
also c'(y)=-2y.
Du kannst also [mm] c(y)=-y^2 [/mm] wählen.
Damit ist [mm] F=x^2y-y^2 [/mm] eine Stammfunktion von f.
FRED
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> was muss ich als nächstes machen?
> Ich glaube ich muss jetzt F bestimmen aber wie mache ist
> das?
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also da man die Stammfunktion bilden kann ist [mm] f(x,y)=(2xy,x^2-2y) [/mm] ein Gradientenvektorfeld?
also wenn man sich die Funktion anguckt ist schon [mm] F_x [/mm] immer die linke seite und [mm] F_y [/mm] immer die rechte seite?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> also da man die Stammfunktion bilden kann ist
> [mm]f(x,y)=(2xy,x^2-2y)[/mm] ein Gradientenvektorfeld?
>
> also wenn man sich die Funktion anguckt ist schon [mm]F_x[/mm] immer
> die linke seite und [mm]F_y[/mm] immer die rechte seite?
Ich hab eine Idee, was Du jetzt so umgehend wie geschwind machst:
Du schaust in Dein Skript (Mitschrieb ...) und holst Dir die Definition von "Stammfunktion" heraus und liest das mal...
FRED
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Ich weiß, was eine Stammdunktion ist und war mir halt unsicher wegen der Aufgabenstellung.
ich habe es analog zu a) gemacht
f(x,y)=(sin(x+y),cos(x-y))
[mm] F_x= [/mm] sin(x+y) [mm] F_y= [/mm] cos(x-y)
Aus [mm] F_x [/mm] = sin(x+y) folgt: F=-cos(x+y)+c(y)
Aus F=-cos(x+y)+c(y) folgt: [mm] F_y= [/mm] -sin(y+x)+c´(y) und daraus folgt
-sin(y+x)+c´(x)=cos(x-y) und dann ist
c´(y)= cos(x-y)+sin(x+y)
c(y)= sin(y-x)-cos(y+x)
Damit ist F= -cos(x+y)+sin(y-x)-cos(y+x) eine Stammfunktion von f.
stimmt das? und was könnte man denn bei so einer Aufgabenstellung als Antwortsatz schreiben?
Lg
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> Ich weiß, was eine Stammdunktion ist und war mir halt
> unsicher wegen der Aufgabenstellung.
>
> ich habe es analog zu a) gemacht
>
> f(x,y)=(sin(x+y),cos(x-y))
>
> [mm]F_x=[/mm] sin(x+y) [mm]F_y=[/mm] cos(x-y)
>
> Aus [mm]F_x[/mm] = sin(x+y) folgt: F=-cos(x+y)+c(y)
> Aus F=-cos(x+y)+c(y) folgt: [mm]F_y=[/mm] -sin(y+x)+c´(y) und
> daraus folgt
> -sin(y+x)+c´(x)=cos(x-y) und dann ist
> c´(y)= cos(x-y)+sin(x+y)
>
> c(y)= sin(y-x)-cos(y+x)
>
> Damit ist F= -cos(x+y)+sin(y-x)-cos(y+x) eine Stammfunktion
> von f.
>
> stimmt das? und was könnte man denn bei so einer
> Aufgabenstellung als Antwortsatz schreiben?
Die Aufgabenstellung verlangt doch zu prüfen ob die gegebenen Vektorfelder Gradientenvektorfelder sind. Wie kannst du das denn überprüfen ? Du möchtest eine Funktion [mm] \phi [/mm] so das [mm] \mathbf{F}=\nabla\phi [/mm], welche Bedingung muss [mm] \mathbf{F} [/mm] dafür erfüllen ?
> Lg
LG
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F muss doch eigentlich nur die Bedingung erfüllen, dass die existiert oder nicht? :S und genau da komme ich halt nicht weiter.
Ist das rechnerische, denn soweit richtig?
Lg
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Hi!
Für gewöhnlich gilt doch [mm] \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\quad\implies\quad \exists\phi\ \text{so dass}\ \mathbf{F}=\nabla\phi [/mm]. D.h. du solltest prüfen, ob [mm] \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} [/mm]. Das ist natürlich alles unter der Voraussetzung, dass deine Vektorfelder stetig sind, das ist aber der Fall.
LG
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Eine offene Frage habe ich dennoch, ich sehe gerade, dass ich hier eine Aufgabe habe zu der gleichen Aufgabenstellung die lautet:
[mm] f(x,y,z)=z+2xy,e^y+x^2,ln(x)
[/mm]
nun habe ich aber drei Variablen analog zu 1a) und 1 b) könnte ich es ja nicht mehr machen. Wie geht man denn hier vor?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 17.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. die rotation ausrechnen kannst du auch hier.
2. bei der Stammfkt, falls existent, hast du erstmal Integration von [mm] F_x [/mm] eine Konstante c(y,z) dann erst im nächsten Schritt [mm] c_2(z)
[/mm]
Gruss leduart
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[mm] g(x,y,z)=(z+2xy,e^y+x^2,ln(x))
[/mm]
[mm] F_x=z+2xy [/mm]
[mm] F_y=e^y+x^2
[/mm]
[mm] F_z=ln(x)
[/mm]
Aus [mm] F_x [/mm] = z+2xy folgt F= xz+x^2y+c(y,z)
Aus F = xz+x^2y+c(y,z) folgt [mm] F_y=x^2+c´(y,z)? [/mm] oder nur c´(z)
und als nächstes war ich mir nicht sicher dann würde ich
Aus [mm] F_z [/mm] = ln(x) folgt F=xln(x)-x+c´(y,z)? oder wieder nur c´(z)?
Bin verwirrt,
Lg
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> [mm]g(x,y,z)=(z+2xy,e^y+x^2,ln(x))[/mm]
>
> [mm]F_x=z+2xy[/mm]
> [mm]F_y=e^y+x^2[/mm]
> [mm]F_z=ln(x)[/mm]
>
> Aus [mm]F_x[/mm] = z+2xy folgt F= xz+x^2y+c(y,z)
> Aus F = xz+x^2y+c(y,z) folgt [mm]F_y=x^2+c´(y,z)?[/mm] oder nur
> c´(z)
[mm] F_y=x^2+\partial_yc(y,z)
[/mm]
Vergleiche dies nun mit [mm] F_y [/mm] aus deiner gegebenen Funktion. So kannst du [mm] \partial_yc(y,z) [/mm] herausfinden.
c'(y,z) macht hier wirklich keinen Sinn. Denn, was soll c'(y,z) bedeuten? Nach was wird abgleitet? Also die Verwendung dieser Notation ist hier unangebracht.
> und als nächstes war ich mir nicht sicher dann würde
> ich
> Aus [mm]F_z[/mm] = ln(x) folgt F=xln(x)-x+c´(y,z)? oder wieder nur
> c´(z)?
>
> Bin verwirrt,
>
> Lg
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> F muss doch eigentlich nur die Bedingung erfüllen, dass
> die existiert oder nicht? :S und genau da komme ich halt
> nicht weiter.
Das reicht nicht.
Überprüfe auch das Gebiet. Ist es denn sternförmig? Kleine Eigenschaft, große Wirkung.
Bsp dafür, dass man es nicht weglassen kann:
[mm] f(x,y)=(\frac{-y}{x{}^2+y{}^2},\frac{x}{x{}^2+y{}^2})
[/mm]
Rotation verschwindet, aber Integration über Einheitskreis liefert [mm] 2\pi [/mm] als Ergebnis, also nicht wegunabhängig. Da gehts also schief.
> Ist das rechnerische, denn soweit richtig?
>
> Lg
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