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| Aufgabe | a) Entscheiden Sie, ob das Vektorfeld
A= [mm] \vektor{x* (x^2 + y^2) \\ y * (x^2 + y^2)}
[/mm]
auf [mm] \IR^{2} [/mm] ein Gradientenfeld ist.
b) Entscheiden Sie, ob das Vektorfeld
[mm] B=\vektor{x \\ y \\ -2z }
[/mm]
auf [mm] \IR^{3} [/mm] ein Rotationsfeld ist. |
Hallo,
es wäre schön, wenn sich hier jemand finden würde, der mir bei dieser Aufgabe helfen könnte. :)
Ich weiß, dass das Vektorfeld A genau dann ein Gradientenfeld ist , wenn es ein Skalarfeld F gibt mit A = [mm] \nabla [/mm] F.
Daher habe ich erstmal eine Stammfunktion von A gesucht:
[mm] A=\vektor{ (x^3 - xy^2) \\ (x^2y - y^3)}
[/mm]
[mm] F=\vektor{ 1/4*x^4 - 1/2*x^2*y^2 \\ 1/2 * x^2*y^2 - 1/4 * y^4}
[/mm]
wenn ich jetzt die Probe mache [mm] \nabla [/mm] F = [mm] \vektor{\bruch{\partial F }{\partial x} \\ \bruch{\partial F }{\partial y}} [/mm] bekomme ich natürlich A
Also ist A ein Gradientenfeld!?
b) Beim Rotationsfeld müsste ich ja ein F finden, bei dem [mm] \nabla \times [/mm] F = B
Aber wie mache ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> a) Entscheiden Sie, ob das Vektorfeld
> A= [mm]\vektor{x* (x^2 + y^2) \\ y * (x^2 + y^2)}[/mm]
> auf [mm]\IR^{2}[/mm]
> ein Gradientenfeld ist.
> b) Entscheiden Sie, ob das Vektorfeld
> [mm]B=\vektor{x \\ y \\ -2z }[/mm]
> auf [mm]\IR^{3}[/mm] ein Rotationsfeld
> ist.
> Hallo,
>
> es wäre schön, wenn sich hier jemand finden würde, der mir
> bei dieser Aufgabe helfen könnte. :)
>
> Ich weiß, dass das Vektorfeld A genau dann ein
> Gradientenfeld ist , wenn es ein Skalarfeld F gibt mit A =
> [mm]\nabla[/mm] F.
Was ist denn ein Skalarfeld?! So etwas gibt es nicht. Du meinst wohl eine skalare Funktion.
>
> Daher habe ich erstmal eine Stammfunktion von A gesucht:
>
> [mm]A=\vektor{ (x^3 - xy^2) \\ (x^2y - y^3)}[/mm]
> [mm]F=\vektor{ 1/4*x^4 - 1/2*x^2*y^2 \\ 1/2 * x^2*y^2 - 1/4 * y^4}[/mm]
Jetzt ist F aber ein Vektor, und keine skalare Funktion! Du musst eine einfache Funkiton f(x,y)=.... finden, und keinen Vektor!
>
> wenn ich jetzt die Probe mache [mm]\nabla[/mm] F =
> [mm]\vektor{\bruch{\partial F }{\partial x} \\ \bruch{\partial F }{\partial y}}[/mm]
> bekomme ich natürlich A
> Also ist A ein Gradientenfeld!?
Jein...
Du musst eine skalare Funktion finden, die nach x partiell abgeleitet den ersten Eintrag von A ausmacht, und nach y abgeleitet den zweiten Eintrag von A.
Du kannst keine Vektorwertitge Funktion hernehmen, denn der Gradient ist [mm] $\nabla$ [/mm] auf eine skalare Funktion losgelassen.
Als Beispiel hier für das Potential:
[mm] $\Phi(x,y)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^2y^2}{2}+\frac{y^4}{4}$
[/mm]
Wenn du jetzt [mm] $\nabla=\pmat{ \partial/\partial x \\ \partial/\partial y \\ \partial/\partial z }$ [/mm] auf [mm] $\Phi$ [/mm] loslässt, kommt genau A raus (die z-Komponenten denkt man sich dazu als 0).
Du kannst es aber auch "günstiger" bekommen: Es gibt einen Satz, der dir aussagt, dass die Rotation von A Null werden muss, wenn A ein Gradientenfeld ist. Das hat was mit der Symmetrie der Ableitungen zu tun, oder aber auch anders:
Wenn [mm] $A=grad\Phi$ [/mm] => [mm] $\nabla A=\nabla \times (\nabla \Phi)=0$ [/mm]
D.h. du musst einfach nur die Rotation von A berechnen, und wenn diese 0 ist, ist A ein Gradientenfeld, sonst nicht.
Damit man aber das "Kreuzprodukt" berechnen kann, muss man sich eben die z-Komponenten von A als 0 "dazudenken", denn ein Kreuz oder Vektorprodukt im [mm] $\IR^2$ [/mm] macht keinen Sinn.
>
> b) Beim Rotationsfeld müsste ich ja ein F
Wobei das F jetzt ein Vektor wärec
>finden, bei dem
> [mm]\nabla \times[/mm] F = B
> Aber wie mache ich das?
Entweder durch langes hingucken, und hinschreiben, was [mm] $\nabla \times \vec{F}$ [/mm] ist, oder ebenfalls durch die Symmetrie der Ableitungen, was man dann auch so hinschreibt:
Wenn B ein Rotationsfeld ist, dann muss es Quellenfrei sein, also:
$div B=0$
Sprich: Du musst [mm] $\nabla \vec{B}$ [/mm] berechnen, und gucken, ob das Null wird.
Ist es Null, so liegt ein Rotationsfeld vor, ist es ungleich Null, dann nicht.
Beste Grüße,
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Karotte0.0 |
Vielen Dank! 
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