Gradientenbestimmung (Wurzeln) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Gradienten folgender Fkt:
f(x,y) = exp ( [mm] \wurzel{x²+y²)} [/mm] |
Wie man Gradienten bestimmt, weiß ich. Nach den Variabeln partiell ableiten, aber wie geh ich bei Wurzeln voran. Kann mir da jemand Tipps geben?
Was muss ich bei der (part.) Ableitung von Wurzeln beachten? Kann man es vereinfachen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Berechnen Sie den Gradienten folgender Fkt:
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> f(x,y) = exp ( [mm]\wurzel{x²+y²)}[/mm]
> Wie man Gradienten bestimmt, weiß ich. Nach den Variabeln
> partiell ableiten, aber wie geh ich bei Wurzeln voran. Kann
> mir da jemand Tipps geben?
Partielle Ableitung heißt, Du behandelst die übrigen Variablen wie Konstanten.
Stell's Dir als
[mm] $e^{\wurzel{x^2+c}}$
[/mm]
oder sogar
[mm] $e^{\wurzel{x^2+5}}$
[/mm]
vor.
Und das leitest Du jetzt wie in der Schule ab. Nachdifferenzieren, Nachdifferenzieren, Nachdifferenzieren. =)
ciao
Stefan
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Genau das war ja meine Frage.  Wie leite ich diese Wurzel zB nach x ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Sa 19.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Genau das war ja meine Frage. Wie leite ich diese
> Wurzel zB nach x ab?
Wieso stellst Du die Frage dann nicht in Schule->Mittelstufe? Ist uns das etwa peinlich? =)
[mm] $\frac{d}{dx}\sqrt{f(x)+D}= \frac{d}{dx}(f(x)+D)^\frac12 [/mm] = [mm] \frac12 (f(x)+D)^{-\frac12}\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)+D}}$
[/mm]
ciao
Stefan
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Ok dankeschön erstmal. Wurzeln waren noch nie meine Stärke. Es soll Leute geben, die von ihren Schwächen gerne weglaufen...
Aaaaaber: ich kriegs trotzdem nicht hin. Könntest du oder irgendwer anders die o.g. Aufgabe mal Schritt für Schritt vorrechnen, weil ich damit einfach nicht klarkomme. Vielleicht versteh ich es dann ja durchs Nachvollziehen...
Ich danke!!!
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exp abgeleitet gibt exp, also (nach x abgeleitet)
[mm] exp(\wurzel{x^2+y^2}), [/mm] jetzt noch mal innere Ableitung, also Ableiten der Wurzel:
Wurzel abgeleitet gibt [mm] \bruch{1}{2*wurzel}, [/mm] also
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{x^2+y^2}}, [/mm] da wir aber nicht [mm] \wurzel{x} [/mm] haben, sondern von [mm] x^2+y^2, [/mm] nochmals mal innere Ableitung davon, also 2x.
Analog mit y!
Zusammengefasst: [mm] \bruch{\partial exp(\wurzel{x^2+y^2})}{\partial x}=exp(\wurzel{x^2+y^2})*\bruch{1}{2*\wurzel{x^2+y^2}}*2x. [/mm]
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Vielen Dank. Das hat mich schonmal viel weiter gebracht.
Eine Frage hab ich noch:
Bei einer Aufgabe, soll man u.a. auch den Gradienten bestimmen:
f(x,y) = x+y+ [mm] \wurzel{1-x²-\bruch{y²}{2}}
[/mm]
Wenn ich da jetzt nach x ableite, kommt bei mir raus:
= 1 + [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x²-\bruch{y²}{2}}}
[/mm]
In der Lösung steht allerdings 1 MINUS dem Bruch...Woran kann das liegen?
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Hallo!
> f(x,y) = x+y+ [mm]\wurzel{1-x²-\bruch{y²}{2}}[/mm]
>
> Wenn ich da jetzt nach x ableite, kommt bei mir raus:
>
> = 1 + [mm]\bruch{x}{\wurzel{1-x²-\bruch{y²}{2}}}[/mm]
>
> In der Lösung steht allerdings 1 MINUS dem Bruch...Woran
> kann das liegen?
Kettenregel und Vorzeichen beachten...
[mm]\bruch{\partial}{\partial x}f(x,y) = 1 + \bruch{1}{2*\wurzel{1-x²-\bruch{y²}{2}}}*\left(1-x^{2}-\bruch{y^2}{2}\right)'[/mm]
und [mm] (-x^{2})' [/mm] = -2x 
Stefan.
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Ok, dankeschön!
Jetzt hab ich noch eine letzte Frage zu diesem Thema und zwar, wenn man nach y partiell ableitet.
Da hab ich noch ein falsches Ergebnis raus...
Bei mir in der Lösung steht:
[mm] \bruch{\partial f}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( 1 - [mm] \bruch{y}{\wurzel{1-x²-\bruch{y²}{2}}} [/mm] )
Ich kriege raus, dass vor der Wurzel noch eine 2 steht. Wie krieg ich die weggekürzt?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Deine Funktion ist doch symmetrisch in x und y.
Wenn Du also die partielle Ableitung nach x kennst, erhälst Du die partielle Ableitung nach y durch vertauschen von x und y.
FRED
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Und wann weiß ich, dass eine Funktion in x und y symmetrisch ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Mann !!!!!!! Das sieht man doch an Funktionsvorschrift !!!!!!!!!!!!!
f(x,y) = exp ( $ [mm] \wurzel{x²+y²)} [/mm] $ = f(y,x)
Alles klar ?????????????????????????????
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Di 22.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ein kleiner Tip: Wenn dich die Frage aufregt, dann setzt dich doch einen Moment vom PC weg, atme tief durch, und antworte dann.
Das ist doch nicht nötig, dass man sich dann hier "virtuell aufregt", und eine Antwort mit so vielen !! bestückt =)
Beste Grüße,
Kroni
> Mann !!!!!!! Das sieht man doch an Funktionsvorschrift
> !!!!!!!!!!!!!
>
> f(x,y) = exp ( [mm]\wurzel{x²+y²)}[/mm] = f(y,x)
>
> Alles klar ?????????????????????????????
>
> FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Di 22.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hi Kroni,
ein kleiner Tip:
ich mach das wie ich es will, und Du machst das wie Du es willst.
Einverstanden ?
FRED
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Hallo Fred,
unser Freund ist ja nicht mehr bei der in x und y symmetrischen Funktion, die er am Anfang hatte, sondern schon wieder bei einem unsymmetrischen Problem...
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Ok, danke! Aber wie fahre ich nun fort?
Ich soll ja alle lokalen Extrema bestimmen. Und das macht die Wurzel nicht gerade leichter.
Die partiellen Ableitungen habe ich nun, aber wie zum Teufel komm ich nun zu den kritischen Punkten? Ich schaff es nicht, die Gleichungssysteme nach x bzw y aufzulösen. (Wegen der Wurzel eben)
Danke schonmal.
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Hallo!
Um nochmal alles zusammenzutragen:
f(x,y) = [mm] x+y+\sqrt{1-x^{2}-\bruch{y^{2}}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] f(x,y) = 1 - [mm] \bruch{x}{\sqrt{1-x^{2}-\bruch{y^{2}}{2}}}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] f(x,y) = 1 - [mm] \bruch{y}{2\sqrt{1-x^{2}-\bruch{y^{2}}{2}}}
[/mm]
So sieht die derzeitige Lage aus
Aber das ist mit dem 0-Gleichsetzen ist doch gar nicht so schwer...
Du hast recht, die "Einsetz-Methode" Funktioniert hier am besten!
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] f(x,y) = 1 - [mm] \bruch{x}{\sqrt{1-x^{2}-\bruch{y^{2}}{2}}} [/mm] = 0
[mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] \bruch{x}{\sqrt{1-x^{2}-\bruch{y^{2}}{2}}}
[/mm]
[mm] \gdw \sqrt{1-x^{2}-\bruch{y^{2}}{2}} [/mm] = x
[mm] \gdw 1-x^{2}-\bruch{y^{2}}{2} [/mm] = [mm] x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 1-\bruch{y^{2}}{2} [/mm] = [mm] 2x^{2}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{1}{2}-\bruch{y^{2}}{4} [/mm] = [mm] x^{2}.
[/mm]
So. und das setzt du nun in die zweite Gleichung ein.
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] f(x,y) = 1 - [mm] \bruch{y}{2*\sqrt{1-x^{2}-\bruch{y^{2}}{2}}}
[/mm]
Probiers!
Stefan.
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Danke erstmal...aber, wenn ich einsetze, komm ich nicht viel weiter.
1- ( [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{y²}{4} [/mm] ) - [mm] \bruch{y²}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{y²}{4} [/mm] - [mm] \bruch{y²}{2}
[/mm]
also steht da nun insgesamt:
1- [mm] \bruch{y}{2* \wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{y²}{4}-\bruch{y²}{2}}}
[/mm]
Und nun?
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> Danke erstmal...aber, wenn ich einsetze, komm ich nicht
> viel weiter.
>
> 1- ( [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{y²}{4}[/mm] ) - [mm]\bruch{y²}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{y²}{4}[/mm] - [mm]\bruch{y²}{2}[/mm]
>
> also steht da nun insgesamt:
>
> 1- [mm]\bruch{y}{2* \wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{y²}{4}-\bruch{y²}{2}}}[/mm]
>
> Und nun?
Hallo,
ich habe diesen Thread nicht in Einzelheiten studiert und auch nichts nachgerechnet, gehe aber davon aus, daß Du den Gradienten eienr Funktion errechnet hast und Dich nun für die kritischen Punkte interessiert, welche man durch Nullsetzen des Gradienten erhält.
Nun hattest Du aus [mm] f_x(x,y)=0 [/mm] Informationen über x erhälten, nämlich [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{y^{2}}{4} [/mm] = [mm] x^{2}.
[/mm]
Dies ist in [mm] 0=f_y(x,y) [/mm] einzusetzen, Du erhältst also
0=1- [mm]\bruch{y}{2* \wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{y²}{4}-\bruch{y²}{2}}}[/mm]
=1- [mm]\bruch{y}{2* \wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}}}[/mm].
Und das löst Du nun nach y auf, ermittelst anschließend die zum jeweiligen y-Wert passenden x-Werte und freust Dich dann über Deine kritischen Punkte.
Gruß v. Angela
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Danke!
Wenn ich nach y auflöse, bekomme ich y=1 heraus. Ist das korrekt?
Angenommen es sei korrekt, setz ich diesen Wert in die Gleichung fx ein, oder? Dann kommt ebenfalls x=1 heraus...
Was mache ich falsch oder ist dies korrekt?
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> Danke!
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> Wenn ich nach y auflöse, bekomme ich y=1 heraus. Ist das
> korrekt?
Hallo,
nicht ganz.
Ich nehme an, Du hattest y²=1 dastehen.
Welche Lösungen hat diese Gleichung?
>
> Angenommen es sei korrekt, setz ich diesen Wert in die
> Gleichung fx ein, oder? Dann kommt ebenfalls x=1 heraus...
Ich habe keinen Überbölick darüber, was Du bisher gerechnet hast.
Dankenswerterweise hatte ja steppenhahn in seiner Antwort eine Zusammenfassung geliefert, die das Verfolgen dessen, was hier passiert, möglich macht.
An die halte ich mich.
Dort war [mm] f_x=0 [/mm] bereits umgeformt zu $ [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{y^{2}}{4} [/mm] $ = $ [mm] x^{2}. [/mm] $
Hier gehst Du mit Deinem y-Wert rein und errechnest, welcher x-Wert dazu paßt.
(Aber wenn Du in die "urform" v. [mm] f_x=0 [/mm] gehtst, solltest Du dasselbe herausbekommen. 1 ist es nicht.)
Für y=1 bekomme ich x²=$ [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{y^{2}}{4} [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}= \bruch{1}{4} [/mm] ==> ???
Das liefert Dir die beiden kritischen Punkte (.../1) und (.../1).
Nun nochmal mit der anderen Lösung von y²=1.
Damit solltest du dann 4 kritische Punkte haben. Diese sind Kandidaten für Extremwerte und weiter zu untersuchen.
War die Hessematrix dran? Das wäre ein passendes Stichwort.
Gruß v. Angela
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Hmm...langsam verzeifel ich... :(
Also ich komm nichtsmals auf y²=1. Kannst du mir das kurz erläutern. Vielleicht klappts dann ja bei mir...danke schonmal.
Also mein Problem liegt derzeit bei der Bestimmung der kritischen Punkte. Sobald ich diese habe, würde ich mit der Hessenmatrix fortfahren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Sa 26.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ElDennito!
Angela meint, dass Du irgendwann als Zwischenschritt die Gleichung [mm] $y^2 [/mm] \ = \ 1$ dastehen hattest.
Diese Lösung hat aber nicht nur $y \ = \ +1$ als Lösung, sondern auch ... ?
Gruß
Loddar
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...y= -1
Aber wo hatte ich das als Zwischenschritt? Aber ich sehe, wenn ich das nun in x² = [mm] \bruch{1}{2} -\bruch{y²}{4} [/mm] einsetze, kriege ich auch zwei Werte für x heraus (+- [mm] \bruch{1}{2})....
[/mm]
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> ...y= -1
Hallo,
genau.
>
> Aber wo hatte ich das als Zwischenschritt?
Hallo,
diese Frage solltest Du lieber Dir stellen als uns...
Ich habe jedenfalls nicht entdecken können, daß Du irgendwelche Umformungen hier gepostet hast. Du schriebst lediglich, daß Du beim Auflösen nach y die 1 herausbekommst.
Ich schwebe nicht über Deinem Schreibtisch, sondern ich sitze an meinem, vermutlich ein paarhundert Kilometer weiter.
Falls Du wider Erwarten kein y² dastehen hast, solltest Du mal vorrechnen, was Du mit der Gleichung, die Du dafür aufgelöst hast, getan hast. Wenn Du kein y² hast, wirst Du vermutlich irgendwas ganz Schreckliches getan haben, dem Du auf den Grund ghen solltest.
> Aber ich sehe,
> wenn ich das nun in x² = [mm]\bruch{1}{2} -\bruch{y²}{4}[/mm]
> einsetze, kriege ich auch zwei Werte für x heraus (+-
> [mm]\bruch{1}{2})....[/mm]
Genau, und damit hast Du schonmal die kritischen Punkte, nämlich [mm] (\bruch{1}{2}/ [/mm] 1) und [mm] (-\bruch{1}{2}/1), (\bruch{1}{2}/ [/mm] -1) und [mm] (-\bruch{1}{2}/ [/mm] -1),
Nun geht's weiter mit der Hessematrix, über deren Berechnung Du Dich schonmal in der Literatur informieren solltest und erste Versuche starten.
Eventuelle Ergebnisse präsentiere bitte nachvollziehbar:
poste erneut die 1.partiellen Ableitungen, und dann die 2. dazu, so daß man sich nicht alles zusammenklauben muß, sondern ohne Detektivarbeit sehen kann, ob's stimmt.
Gruß v. Angela
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Ok, nun meine Ausführungen, wie ich fälschlicherweise auf y=1 gekommen bin. Vielleicht könnt ihr mir dann sagen, wo der Fehler liegt.
Wir hatten ermittelt:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{y²}{4} [/mm] = x²
Das setze ich jetzt in die Gleichung ein:
0 = 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{2} + \bruch{y²}{4}- \bruch{y²}{2}} }
[/mm]
<=> 0 = 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} }
[/mm]
<=> die Wurzel auf die andere Seite multipliziert...
0 = 1 -y
y= 1
Irgendwo muss ja sicher ein haarstreubender Fehler sein :)
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> Ok, nun meine Ausführungen, wie ich fälschlicherweise auf
> y=1 gekommen bin. Vielleicht könnt ihr mir dann sagen, wo
> der Fehler liegt.
>
> Wir hatten ermittelt:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{y²}{4}[/mm] = x²
>
> Das setze ich jetzt in die Gleichung ein:
>
> 0 = 1 - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{2} + \bruch{y²}{4}- \bruch{y²}{2}} }[/mm]
>
> <=> 0 = 1 - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} }[/mm]
>
> <=> die Wurzel auf die andere Seite multipliziert...
>
> 0 = 1 -y
> y= 1
>
> Irgendwo muss ja sicher ein haarstreubender Fehler sein :)
Hallo,
ja, es ist ein haarsträubender Fehler - und er wird nicht ungern gemacht von Schülern.
"Die Wurzel auf die andere Seite multipliziert" ist ja nicht ganz richtig, sondern: Du multiplizierst beide Seiten mit [mm] 2*{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} }.
[/mm]
Was kommt raus?
Dies:
[mm] 0*2*{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} } [/mm] = (1 - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm] \bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} })*2*{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} }
[/mm]
<==>
[mm] 0=2*{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} } [/mm] - y.
Und nun geht das lustige Rechnen weiter, bis Du schleßlich wirklich nach y aufgelöst hast. (y auf die andere Seite, quadrieren.) Deine 1 von zuvor war ein echter Zufallstreffer!
Gruß v. Angela
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$ [mm] 0\cdot{}2\cdot{}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} } [/mm] $ = (1 - $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} })\cdot{}2\cdot{}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} } [/mm] $
$ [mm] 0=2\cdot{}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} } [/mm] $ - y.
Diesen Schritt verstehe ich irgendwie nicht. Wie kommst du auf die rechte Seite der Gleichung?
Und eine weitere Frage:
Wenn ich dann weiter nach y auflöse, kommt bei mir irgendwann raus:
y² = 2 - [mm] \bruch{y²}{4}
[/mm]
Und nun?
Zufällig: y² = [mm] \bruch{8}{5} [/mm] ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Di 29.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ElDennito!
> [mm]0\cdot{}2\cdot{}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} }[/mm] = (1
> - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *
> [mm]\bruch{y}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} })\cdot{}2\cdot{}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} }[/mm]
>
> [mm]0=2\cdot{}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} }[/mm] - y.
>
> Diesen Schritt verstehe ich irgendwie nicht. Wie kommst du
> auf die rechte Seite der Gleichung?
Durch Ausmultiplizieren der Klammer und Kürzen beim zweiten Term.
> Und eine weitere Frage:
>
> Wenn ich dann weiter nach y auflöse, kommt bei mir
> irgendwann raus:
> y² = 2 - [mm]\bruch{y²}{4}[/mm]
Wie kommst Du darauf?
> Und nun?
Damit hast Du nun eine quadratische Gleichung. Löse hier mal nach [mm] $y^2 [/mm] \ = \ ...$ auf .
> Zufällig: y² = [mm]\bruch{8}{5}[/mm] ??
Weder zufällig noch regulär: nein!
Gruß
Loddar
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$ [mm] 0=2\cdot{}{\wurzel{\bruch{1}{2}-\bruch{y²}{4}} } [/mm] $ - y.
Wenn ich y auf die linke Seite bringe und nun quadriere...
y² = 2 - [mm] \bruch{y²}{4}
[/mm]
aber anscheinend ja nicht...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Di 29.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ElDennito!
Du musst auch die 2 mitquadrieren. Und beim anschließenden Ausmultiplizieren der Klammer (welche anstelle der Wurzel hinkommt) auch beide Terme berücksichtigen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Di 29.07.2008 | | Autor: | ElDennito |
Danke...die Klammer war das Ausschlaggebende.
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Hallo Blech,
bei uns in Haltern leitet man exp und Wurzeln schon im Kindergarten ab, mit der Mittelstufe hast du dich wohl vertan, da lösen wir schon Differenzialgleichungen, damit wir in der Oberstufe endlich zur Funktionentheorie übergehen können...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 22.07.2008 | | Autor: | Disap |
> Hallo Blech,
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> bei uns in Haltern leitet man exp und Wurzeln schon im
> Kindergarten ab, mit der Mittelstufe hast du dich wohl
> vertan, da lösen wir schon Differenzialgleichungen, damit
> wir in der Oberstufe endlich zur Funktionentheorie
> übergehen können...
![[laugh]](/images/smileys/laugh.gif "[laugh]")
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