Gradient \perp Höhenlinie < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei f : [mm] (0,\infty)^2 \to \IR, [/mm] defe niert durch f(x, y) = [mm] \wurzel{xy}. [/mm] Für c > 0 heißt [mm] f^{-1}({c}) [/mm] = {(x, y) : f(x, y) = c} die Höhenlinie zum Niveau c. Zeigen Sie, dass in jedem Punkt in [mm] (0,\infty)^2 [/mm] gilt:
"Gradient [mm] \perp [/mm] Höhenlinie", d.h. der Gradient und die Tangente an die betreff ende Höhenlinie stehen senkrecht aufeinander. |
naja der gradient is nen vektor und höhenlinie hört sich auch wie einer an
also hab ich mir gedacht, ich zeige das das skalarprodukt gleich null ist.
also erst mal grad f:
[mm] \partial [/mm] x= [mm] \bruch{1}{2}*y*\bruch{1}{\wurzel{xy}}
[/mm]
wegen symmetrie erhalte ich
[mm] \vektor{y*\bruch{1}{2\wurzel{xy}} \\ x*\bruch{1}{2\wurzel{xy}}}
[/mm]
so das problem ist, was ist die höhenlinie?
nach def kommt mir das vor wie c, aber c ist für mich nur ein punkt
also zb [mm] (x,y)=(2,2)-->f(x,y)=\wurzel{2*2}=2=c
[/mm]
jetzt müsste
[mm] 2*\bruch{1}{2\wurzel{2*2}}*c_1+2*\bruch{1}{2\wurzel{4}}*c_2=0
[/mm]
= [mm] 0,5c_1+0,5c_2=0
[/mm]
ein weiteres problem ist, c>0 und x,y>0, also müsste bei mir [mm] c=\vektor{0 \\ 0} [/mm] die einzig mögliche antwort sein
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> Es sei f : [mm](0,\infty)^2 \to \IR,[/mm] definiert durch
> $\ f(x, y) = [mm] \wurzel{xy}$ [/mm]
> Für c > 0 heißt $\ [mm] f^{-1}({c})= \{(x, y) : f(x, y) = c\}$ [/mm]
> die Höhenlinie zum Niveau c.
> Zeigen Sie, dass in jedem Punkt in [mm](0,\infty)^2[/mm] gilt:
> "Gradient [mm]\perp[/mm] Höhenlinie", d.h. der Gradient
> und die Tangente an die betreffende Höhenlinie
> stehen senkrecht aufeinander.
> naja der gradient is nen vektor
er ist ein Vektor
> und höhenlinie hört sich auch wie einer an
eine Höhenlinie ist nicht ein Vektor,
sondern eine Kurve. Diese Kurve hat
Tangentialvektoren
> also hab ich mir gedacht, ich zeige daß das
> Skalarprodukt gleich null ist.
> also erst mal grad f:
> [mm]\partial[/mm] x= [mm]\bruch{1}{2}*y*\bruch{1}{\wurzel{xy}}[/mm]
Links müsste stehen: [mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}
[/mm]
> wegen Symmetrie erhalte ich
> [mm]\vektor{y*\bruch{1}{2\wurzel{xy}} \\ x*\bruch{1}{2\wurzel{xy}}}[/mm]
>
> so das Problem ist, was ist die Höhenlinie?
> Nach def kommt mir das vor wie c, aber c ist für mich nur
> ein punkt ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
c ist nicht einmal ein Punkt (der hätte zwei
Koordinaten), sondern nur eine positive Zahl
> also zb [mm](x,y)=(2,2)-->f(x,y)=\wurzel{2*2}=2=c[/mm]
> jetzt müsste
>
> [mm]2*\bruch{1}{2\wurzel{2*2}}*c_1+2*\bruch{1}{2\wurzel{4}}*c_2=0[/mm]
> = [mm]0,5c_1+0,5c_2=0[/mm]
> ein weiteres problem ist, c>0 und x,y>0, also müsste bei
> mir [mm]c=\vektor{0 \\ 0}[/mm] die einzig mögliche antwort sein
Das letzte ist so ziemlicher BullShit, denn man
muss diese Überlegungen nicht nur in einem
konkret ausgewählten Punkt, sondern allgemein
durchführen. Betrachte also einen Punkt [mm] P_0\,(x_0/y_0),
[/mm]
den Gradientenvektor in diesem Punkt und die
Höhenlinie h: [mm] \sqrt{x\,y}=c=\sqrt{x_0\,y_0}, [/mm] welche durch diesen
Punkt verläuft. Bestimme einen Tangentialvektor
an h im Punkt [mm] P_0 [/mm] (dazu kannst du z.B. die
Kurvengleichung von h nach y auflösen und
ableiten).
LG Al-Chw.
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hi, danke für deine antwort, aber jetzt kommt wohl noch ne menge arbeit, vorallem des nachvollziehens
> > und höhenlinie hört sich auch wie einer an
>
> eine Höhenlinie ist nicht ein Vektor,
> sondern eine Kurve. Diese Kurve hat
> Tangentialvektoren
> > also hab ich mir gedacht, ich zeige daß das
> > Skalarprodukt gleich null ist.
also was ist zb mit dieser idee?
> Links müsste stehen: [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}[/mm]
aus faulheit falsch abgekürzt
> c ist nicht einmal ein Punkt (der hätte zwei
> Koordinaten), sondern nur eine positive Zahl
ja klar,habs ja selbst ausgerechnet im bsp
>
> Das letzte ist so ziemlicher BullShit, denn man
> muss diese Überlegungen nicht nur in einem
> konkret ausgewählten Punkt, sondern allgemein
> durchführen.
ja das ist mir klar, ich wollte das aber mal an einem konkreten bsp testen
>Betrachte also einen Punkt [mm]P_0\,(x_0/y_0),[/mm]
> den Gradientenvektor in diesem Punkt und die
> Höhenlinie h: [mm]\sqrt{x\,y}=c=\sqrt{x_0\,y_0},[/mm] welche durch
> diesen
> Punkt verläuft. Bestimme einen Tangentialvektor
> an h im Punkt [mm]P_0[/mm] (dazu kannst du z.B. die
> Kurvengleichung von h nach y auflösen und
> ableiten).
also jetzt bin ich ganz durcheinander...was bringt mir das? und wie genau soll ich das ausrechen? also dann hab ich die höhenlinien veränderung entsprechend der x/y achse?
also ich probiers ma h: [mm] \sqrt{x\,y}=c [/mm] --> [mm] \bruch{c^2}{x}=y [/mm] (wonach ableiten? würd sagen nach [mm] x)-->y'=\bruch{-c^2}{x^2}
[/mm]
gruß kinghenni
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> > Betrachte also einen Punkt [mm]P_0\,(x_0/y_0)\,,[/mm] den
> > Gradientenvektor in diesem Punkt und die
> > Höhenlinie h: [mm]\sqrt{x\,y}=c=\sqrt{x_0\,y_0},[/mm] welche
> > durch diesen Punkt verläuft. Bestimme einen Tan-
> > gentialvektor an h im Punkt [mm]P_0[/mm] (dazu kannst
> > du z.B. die Kurvengleichung von h nach y auf-
> > lösen und ableiten).
> also jetzt bin ich ganz durcheinander...was bringt mir
> das? und wie genau soll ich das ausrechen? also dann hab
> ich die höhenlinien veränderung entsprechend der x/y
> achse?
> also ich probiers mal: h: [mm]\sqrt{x\,y}=c[/mm] -->
> [mm]\bruch{c^2}{x}=y[/mm] (wonach ableiten? würd sagen nach
> [mm]x)\ \ -->y'=\bruch{-c^2}{x^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
... und jetzt wäre z.B. [mm] \vektor{1\\y'} [/mm] ein Tangential-
vektor der Kurve h (setze noch [mm] x:=x_0 [/mm] ein, um
den Tangentialvektor im Punkt [mm] P_0(x_0/y_0)
[/mm]
zu erhalten. Und dann bilde das Skalarprodukt
mit dem Gradientenvektor ebenfalls in diesem
Punkt. Was herauskommen sollte, weißt du.
LG Al-Chw.
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