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| Aufgabe | | Geben Sie den Gradienten der folgenden Funktion [mm] f:R^3 [/mm] -> R an mit: |
Hallöchen allerseits,
ich habe nochmal eine Frage zu einem Aufgabentyp zu dem ich leider kaum Informationen suche. Wäre super wenn mir jemand von euch sagen könnte wie ich mit dieser Aufgabe arbeiten muss und welche Differentationsgesetze ich hier beachten muss.
f(x,y,z) := [mm] \bruch{x^2y^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z)}{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
Ich denke ich muss x,y,z nacheinander ableiten ableiten oder?
[mm] \bruch{df}{dx}, \bruch{df}{dy}, \bruch{df}{dz} [/mm] ?
Wäre um Hilfe sehr dankbar, besonders nach welcher Regel mal differenziert. Kettenregel oder Produktregel?
Vielen Dank
mathemurx
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 So 26.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo mathemuRx,
ja, Du must drei Ableitungen bilden, und dabei die anderen Größen, nach denen Du nicht ableitest als Konstanten behandeln. In einem Produkt bleiben diese stehen, in einer Summe fallen sie raus. Insofern kommst Du mit der Quotientenregel weiter.
Viele Grüße,
Infinit
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Die Quotientenregel meinte ich eigentlich auch.
Die Regel besagt ja:
f'(x) = [mm] \bruch{g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)}{h^2(x)}
[/mm]
Somit bekomme ich für [mm] \bruch{df}{dx}=\bruch{2xy^2z^2cos(x)sinh(y)sin(z)x^2y^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z)2x+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}
[/mm]
Ist das richtig?
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Hallo,
> Ist das richtig?
die Quotientenregel ist hier schon richtig. Aber du musst sie auch anwenden. Den Zähler deiner Ableitung kann ich nicht nachvollziehen, der Nenner passt natürlich.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:36 So 26.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Nicht so ganz, denn Du hast ja im Zähler, in Bezug auf x, ein Produkt stehen, nämlich [mm] x^2 \sin (x) [/mm]. Auf dieses Produkt musst Du natürlich die Produktregel anwenden, und das führt im Zähler zu einem Ausdruck [mm] 2x \sin (x) + x^2 \cos (x) [/mm]. Ich weiß, dass man bei solchen Aufgaben schnell den Überblick verliert, schreibe deshalb alles, was Du als konstanten Faktor im Zähler hinschreiben kannst, auch so hin. Dann ist eine Schreibweise von
[mm] \bruch{y^2 z^2 \sinh (y) \sin (z) \cdot (x^2 \sin (x))}{x^2 +y^2 + z^2} [/mm] irgendwie übersichtlicher, meine ich jedenfalls.
Viele Grüße,
Infinit
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Danke euch beiden.
Das mit dem vereinfachen hat mich gut weitergebracht, sollte ich mir dringend merken.
habe jetzt:
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{y^2z^2sinh(y)sin(z) \* 2xsin(x)+x^2cos(x) +x^2+y^2+z^2 - x^2y^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z) \* 2x+y^2+z^2}{(x^2y^2z^2)^2}
[/mm]
Kann das jemand so bestätigen?
Man kann es leider im Bruch farblich nicht hervorheben, hoffe es geht auch so von der Übersicht.
Kann ich das ganze noch vereinfachen?
Vielen Dank aber schonmal für die guten Tipps!
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Hallo mathemuRx,
> Danke euch beiden.
> Das mit dem vereinfachen hat mich gut weitergebracht,
> sollte ich mir dringend merken.
>
> habe jetzt:
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> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{y^2z^2sinh(y)sin(z) \* 2xsin(x)+x^2cos(x) +x^2+y^2+z^2 - x^2y^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z) \* 2x+y^2+z^2}{(x^2y^2z^2)^2}[/mm]
>
> Kann das jemand so bestätigen?
Das ist leider nicht richtig.
Um die Ableitung zu vereinfachen, definiere wie folgt:
[mm]c_{1}:=y^{2}*z^{2}*\sinh\left(y\right)*\sin\left(z\right)[/mm]
[mm]c_{2}:=y^{2}+z^{2}[/mm]
Dann schreibt sich die Funktion so: [mm]\bruch{c_{1}*x^{2}*\sin\left(x\right)}{x^{2}+c_{2}}[/mm]
Und das ist dann einfacher abzuleiten,
als immer den ganzen Wust von y's und z's mitzuschleppen.
> Man kann es leider im Bruch farblich nicht hervorheben,
> hoffe es geht auch so von der Übersicht.
> Kann ich das ganze noch vereinfachen?
>
> Vielen Dank aber schonmal für die guten Tipps!
Gruss
MathePower
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Auch eine sehr gute Idee.
Habe jetzt nochmal mit der vereinfachten Variante gerechnet und habe glaub ich meinen Fehler gefunden.
Hier nochmal meine neue Version:
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{2xy^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z)}{x^2+y^2+z^2}+\bruch{x^2y^2z^2cos(x)sinh(y)sin(z)}{x^2+y^2+z^2}-\bruch{2x^2y^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z)}{(x^2+y^2+z^2)^2}
[/mm]
Gefahr gebannt? :)
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Hallo mathemuRx,
> Auch eine sehr gute Idee.
> Habe jetzt nochmal mit der vereinfachten Variante
> gerechnet und habe glaub ich meinen Fehler gefunden.
>
> Hier nochmal meine neue Version:
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2xy^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z)}{x^2+y^2+z^2}+\bruch{x^2y^2z^2cos(x)sinh(y)sin(z)}{x^2+y^2+z^2}-\bruch{2x^2y^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z)}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/mm]
>
> Gefahr gebannt? :)
Fast:
[mm]\bruch{df}{dx} = \bruch{2xy^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z)}{x^2+y^2+z^2}+\bruch{x^2y^2z^2cos(x)sinh(y)sin(z)}{x^2+y^2+z^2}-\bruch{2x^{\blue{3}}y^2z^2sin(x)sinh(y)sin(z)}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/mm]
Gruss
MathePower
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Wie komm ich denn aufs [mm] x^3?
[/mm]
Seh glaub ich den Wald vor lauter Bäumen nicht.
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Hallo mathemuRx,
> Wie komm ich denn aufs [mm]x^3?[/mm]
> Seh glaub ich den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Das ist doch die Ableitung des Nenners multipliziert mit dem Zähler:
[mm]\left(x^{2}+c_{2}\right)'*c_{1}*x^{2}*\sin\left(x\right)=2x*c_{1}*x^{2}*\sin\left(x\right)=2*x^{3}*\sin\left(x\right)*c_{1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 So 26.02.2012 | | Autor: | mathemuRx |
Vielen Dank für eure Antworten.
Jetzt seh ich es natürlich auch.
/closed
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