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| Aufgabe | | f: (-1,1) x [mm] (0,\bruch{\pi}{2}) [/mm] |
grad f(x,y) = (0,0) <=> [mm] e^x*sin(y) [/mm] -e^(-x)*cos(y) = 0 und [mm] -e^x*sin(y) [/mm] +e^(-x)*cos (y) = 0.
Zur Eingabe: (-x) soll im Exponenten stehen, leider bekomme ich das nicht hin!!!
Habe bereits versucht durch gleichsetzen der beiden Funktionen eine Lösung zu bekommen, allerdings bin ich gescheitert.
Wer kann mir helfen, hier die Nullstellen zu bestimmen (unter Beachtung der Def.-Menge).
DANKE.
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Hallo pippilangstrumpf,
leider fehlt bei deinen Angaben die originale Aufgabenstellung (bzw. eigentlich geht es mir nur um die Ausgangsfunktion f(x,y), die du nicht angegeben hast). Hole das bitte nach 
> f: (-1,1) x [mm](0,\bruch{\pi}{2})[/mm]
> grad f(x,y) = (0,0) <=> [mm]e^x*sin(y)[/mm] -e^(-x)*cos(y) = 0 und
> [mm]-e^x*sin(y)[/mm] +e^(-x)*cos (y) = 0.
>
> Zur Eingabe: (-x) soll im Exponenten stehen, leider bekomme
> ich das nicht hin!!!
Du musst das ^ - Zeichen danach mit geschweiften Klammern machen { } dann funktioniert's!
Beispiel: [mm] $e^{-x}$ [/mm] = e^{-x}.
Wenn du richtig abgeleitet haben solltest etc., hast du ja hier zweimal dieselbe Gleichung vorliegen (die erste mal (-1) ist die zweite).
[mm] $e^{x}*\sin(y)-e^{-x}*\cos(y) [/mm] = 0$
Teilen durch [mm] $e^{-x}\not= [/mm] 0$ :
[mm] $\Rightarrow e^{2*x}*\sin(y)-\cos(y) [/mm] = 0$
[mm] $\Rightarrow e^{2*x}*\sin(y) [/mm] = [mm] \cos(y)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{-2*x} [/mm] = [mm] \tan(y)$
[/mm]
So, wie es jetzt da steht, kannst du beliebig viele Lösungen finden, du musst einfach nur y beliebig wählen und kannst x ausrechnen. Schau' nochmal, ob du richtig abgeleitet hast, und poste die Funktion.
Grüße,
Stefan
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> Hallo pippilangstrumpf,
>
> leider fehlt bei deinen Angaben die originale
> Aufgabenstellung (bzw. eigentlich geht es mir nur um die
> Ausgangsfunktion f(x,y), die du nicht angegeben hast). Hole
> das bitte nach
>
> > f: (-1,1) x [mm](0,\bruch{\pi}{2})[/mm]
> > grad f(x,y) = (0,0) <=> [mm]e^x*sin(y)[/mm] -e^(-x)*cos(y) = 0
> und
> > [mm]-e^x*sin(y)[/mm] +e^(-x)*cos (y) = 0.
> >
> > Zur Eingabe: (-x) soll im Exponenten stehen, leider bekomme
> > ich das nicht hin!!!
>
> Du musst das ^ - Zeichen danach mit geschweiften Klammern
> machen { } dann funktioniert's!
> Beispiel: [mm]e^{-x}[/mm] = [mm][code]e^{-x}[/code].[/mm]
>
> Wenn du richtig abgeleitet haben solltest etc., hast du ja
> hier zweimal dieselbe Gleichung vorliegen (die erste mal
> (-1) ist die zweite).
>
> [mm]e^{x}*\sin(y)-e^{-x}*\cos(y) = 0[/mm]
>
> Teilen durch [mm]e^{-x}\not= 0[/mm] :
Wenn ich hier teile, wie komme ich dann auf [mm] e^{2*x}? [/mm] Das ist mir nicht ganz klar!
>
> [mm]\Rightarrow e^{2*x}*\sin(y)-\cos(y) = 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow e^{2*x}*\sin(y) = \cos(y)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow e^{-2*x} = \tan(y)[/mm]
Wie komme ich auf diese Umformung?
Wie kann ich hier dann mit der Definitionsmenge argumentieren?
>
> So, wie es jetzt da steht, kannst du beliebig viele
> Lösungen finden, du musst einfach nur y beliebig wählen
> und kannst x ausrechnen. Schau' nochmal, ob du richtig
> abgeleitet hast, und poste die Funktion.
> Die Ableitung muss stimmen, weil diese als Zwischenergebnis bzw. als Hinweis angegeben ist.
> Grüße,
> Stefan
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Hallo pippilangstrumpf,
wo hast du denn die Funktion f gelassen?
> > [mm]e^{x}*\sin(y)-e^{-x}*\cos(y) = 0[/mm]
> >
> > Teilen durch [mm]e^{-x}\not= 0[/mm] :
> Wenn ich hier teile, wie komme ich dann auf [mm]e^{2*x}?[/mm] Das
> ist mir nicht ganz klar!
> >
> > [mm]\Rightarrow e^{2*x}*\sin(y)-\cos(y) = 0[/mm]
Teilen durch [mm] e^{-x} [/mm] ist dasselbe wie multiplizieren mit [mm] e^{x}. [/mm] Jetzt klarer ?
> > [mm]\Rightarrow e^{2*x}*\sin(y) = \cos(y)[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow e^{-2*x} = \tan(y)[/mm]
> Wie komme ich auf diese
> Umformung?
[mm] $e^{2*x}*\sin(y) [/mm] = [mm] \cos(y)$
[/mm]
Teilen durch [mm] e^{2*x}, [/mm] Teilen durch [mm] \cos(y) [/mm] bringt:
[mm] $\frac{\sin(y)}{\cos(y)} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^{2*x}}$
[/mm]
Nun ist [mm] $\tan(y) [/mm] = [mm] \frac{\sin(y)}{\cos(y)}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{e^{2*x}} [/mm] = [mm] e^{-2*x}$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \tan(y) [/mm] = [mm] e^{-2*x}$
[/mm]
> Wie kann ich hier dann mit der Definitionsmenge
> argumentieren?
Nun, wir könnten noch weiter umformen:
[mm] $\Rightarrow -\frac{1}{2}*\ln(\tan(y)) [/mm] = x$.
Nun kannst du überlegen: $y [mm] \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$. [/mm] Also ist [mm] $\tan(y)\in (0,\infty)$, [/mm] folglich auch [mm] $-\frac{1}{2}*\ln(\tan(y))\in\IR$. [/mm] Und da sowohl [mm] \ln [/mm] als auch [mm] \tan [/mm] monoton wachsend sind, ist auch [mm] \ln(\tan(y)) [/mm] monoton wachsend, [mm] -\frac{1}{2}*\ln(\tan(y)) [/mm] also monoton fallend.
D.h. du setzt jetzt mal die Werte -1 und 1 für x ein, bestimmst das entsprechende y und kannst dann ein Intervall angeben, in dem y liegen darf.
Grüße,
Stefan
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f (x,y) = [mm] e^x*cos(y) [/mm] + [mm] e^{-x} [/mm] * sin(y).
Das ist die Ausgangsfunktion.
Entschuldigung, habe leider die falsche Aufgabenstellung erwischt!!!
-> VERBESSERUNG!
Die restlichen Hinweise werde ich mir jetzt in Ruhe durch den Kopf gehen lassen. Danke für die Hilfestellung
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