Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Leider habe ich gerade wiede rmal ein grundlageproblem
Es gelte f(x,y) = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] und g(x,y) = (x + [mm] y)^2 [/mm] + [mm] y^2. [/mm] Bestimmen Sie die Punkte in der xy-Ebene, wo die Gradienten dieser beiden Funktionen orhogonal aufeinander stehen.
Der Gradientenvektor lautet doch von f(x,y) [mm] \vektor{2x - 2y \\ 2y \\ -1}
[/mm]
Der Gradientenvektor lautet doch von g(x,y) [mm] \vektor{2x + 2y \\ 2y \\ -1}
[/mm]
Diese Gradienten sind doch gar nicht in der xy Ebene...
Muss ich nun die Gradienten auf die xy Ebene projizieren? Hier ene Veranschaulichung wie ich das meine: http://www.bilder-space.de/bilder/d588db-1292870107.jpg
Bei den auf die x-y Ebene projizierten gradient ist ja die z-Komponente 0,
Also
Der Gradientenvektor lautet doch von f(x,y) [mm] \vektor{2x - 2y \\ 2y \\ 0}
[/mm]
Der Gradientenvektor lautet doch von g(x,y) [mm] \vektor{2x + 2y \\ 2y \\ 0}
[/mm]
oder wie ist das gemeint?
Danke, gruss Kuriger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mo 20.12.2010 | | Autor: | weduwe |
> Hallo
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> Leider habe ich gerade wiede rmal ein grundlageproblem
>
> Es gelte f(x,y) = [mm](x-1)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] und g(x,y) = (x + [mm]y)^2[/mm] +
> [mm]y^2.[/mm] Bestimmen Sie die Punkte in der xy-Ebene, wo die
> Gradienten dieser beiden Funktionen orhogonal aufeinander
> stehen.
>
> Der Gradientenvektor lautet doch von f(x,y) [mm]\vektor{2x - 2y \\ 2y \\ -1}[/mm]
>
> Der Gradientenvektor lautet doch von g(x,y) [mm]\vektor{2x + 2y \\ 2y \\ -1}[/mm]
>
> Diese Gradienten sind doch gar nicht in der xy Ebene...
>
> Muss ich nun die Gradienten auf die xy Ebene projizieren?
> Hier ene Veranschaulichung wie ich das meine:
> http://www.bilder-space.de/bilder/d588db-1292870107.jpg
> Bei den auf die x-y Ebene projizierten gradient ist ja die
> z-Komponente 0,
>
> Also
> Der Gradientenvektor lautet doch von f(x,y) [mm]\vektor{2x - 2y \\ 2y \\ 0}[/mm]
>
> Der Gradientenvektor lautet doch von g(x,y) [mm]\vektor{2x + 2y \\ 2y \\ 0}[/mm]
>
> oder wie ist das gemeint?
>
> Danke, gruss Kuriger
>
eine vermutung:
a) wenn f stimmt, stimmt der zugehörige gradient nicht.
b) ich würde mir überlegen, welche punkte von f und insbesondere von g in der xy-ebene liegen (können) und die z-komponente des/ der gradienten anschauen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Mir ist leider noch immer nicht viel klar.
Okay, da war eine y zuviel
Gradient f(x,y) = [mm] \vektor{2x - 2 \\ 2y \\ -1}
[/mm]
Der Gradientenvektor lautet doch von g(x,y) [mm]\vektor{2x + 2y \\ 2y \\ -1}[/mm]
Also ich versuche deinen Ratschlägen folge zu leisten.
Damit es in der x-y Ebene liegt, muss z = f(x,y) = 0 und z = g(x,y) = 0 sein
Oder das ist eigentlich eine bestimmte Niveaukurve für f(x,y) = c = 0 ?
c= f(x,y) = 0 = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] (Niveaukurve 1)
und
c = g(x,y) = 0 = (x + [mm] 1)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] (Niveaukurve 2)
Frage mich gerade was für Niveaukurven dies sind, ob dies eine spezielle Figur wie z. B. Ellipse, kreis etc. hat. Aber seh da die bildliche Figur nicht)
Gradient der Niveaukurve 1: [mm] \vektor{2x -2 \\ 2y}
[/mm]
Gradient der Niveaukurve 2: [mm] \vektor{2x +2 \\ 2y}
[/mm]
Bedingung, dass rechtwinklig aufeinanderstehen
0 = [mm] \vektor{2x -2 \\ 2y} [/mm] * [mm] \vektor{2x +2 \\ 2y}
[/mm]
0 = (2x-2) * (2x + 2) + [mm] 4y^2
[/mm]
0 = [mm] 4x^2 [/mm] -4 + [mm] 4y^2
[/mm]
0 = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -1
[mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1
Das wäre der EInheitskreis?
Danke, gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mo 20.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Mir ist leider noch immer nicht viel klar.
> Okay, da war eine y zuviel
>
> Gradient f(x,y) = [mm]\vektor{2x - 2 \\ 2y \\ -1}[/mm]
>
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> Der Gradientenvektor lautet doch von g(x,y) [mm]\vektor{2x + 2y \\ 2y \\ -1}[/mm]
>
> Also ich versuche deinen Ratschlägen folge zu leisten.
>
> Damit es in der x-y Ebene liegt, muss z = f(x,y) = 0 und z
> = g(x,y) = 0 sein
> Oder das ist eigentlich eine bestimmte Niveaukurve für
> f(x,y) = c = 0 ?
>
> c= f(x,y) = 0 = [mm](x-1)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] (Niveaukurve 1)
> und
> c = g(x,y) = 0 = (x + [mm]1)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] (Niveaukurve 2)
>
> Frage mich gerade was für Niveaukurven dies sind, ob dies
> eine spezielle Figur wie z. B. Ellipse, kreis etc. hat.
> Aber seh da die bildliche Figur nicht)
>
> Gradient der Niveaukurve 1: [mm]\vektor{2x -2 \\ 2y}[/mm]
> Gradient
> der Niveaukurve 2: [mm]\vektor{2x +2 \\ 2y}[/mm]
>
> Bedingung, dass rechtwinklig aufeinanderstehen
> 0 = [mm]\vektor{2x -2 \\ 2y}[/mm] * [mm]\vektor{2x +2 \\ 2y}[/mm]
> 0 =
> (2x-2) * (2x + 2) + [mm]4y^2[/mm]
> 0 = [mm]4x^2[/mm] -4 + [mm]4y^2[/mm]
> 0 = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] -1
> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 1
>
> Das wäre der EInheitskreis?
>
> Danke, gruss Kuriger
Es ist alles falsch !
1. Die Gradienten von f und g sind Vektoren des [mm] \IR^2 [/mm] (und nicht des [mm] \IR^3), [/mm] denn f und g sind Funktionen von 2 Variablen.
2. Lerne endlich das partiell differenzieren.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Di 21.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Ich verstehe nichts mehr
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> 1. Die Gradienten von f und g sind Vektoren des [mm]\IR^2[/mm] (und
> nicht des [mm]\IR^3),[/mm] denn f und g sind Funktionen von 2
> Variablen.
Ja stimmt. Aber eben es ist eine Raumfunktion?
Solche Antworten helfen mir nicht wirklich weiter
Stimmt der Ansatz c = f(x,y) = 0 zu setzen nicht, damit ich die funktion in der xy Ebene habe? offenbar nicht da ja alles falsch ist..
Nur komisch, dass ich alles vollkommen falsch rechne, jedoch in der Musterlösung steht: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 1 (jedoch ohne Lösungsweg)
Das muss ja ein RIESEn Zufall gewesen sein, dass ich mit allem falsch rechnen darauf aufs richtige komme...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich machs Dir vor:
Es ist f(x,y)= [mm] (x-1)^2+y^2= x^2-2x+1+y^2
[/mm]
Wenn Du f partiell nach x differenzierst mußt Du y als Konstante auffassen, also:
[mm] f_x(x,y) [/mm] = 2x-2
Wenn Du f partiell nach y differenzierst mußt Du x als Konstante auffassen, also:
[mm] f_y(x,y) [/mm] = 2y
Damit ist
$gradf(x,y)= [mm] \vektor{2x-2 \\2 y}$
[/mm]
Nun überzeuge Dich selbst, dass
$gradg(x,y)= [mm] \vektor{2x+2y \\2 x+4y}$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 21.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
habe ich ja auch bei f, bei g hat sich bei der Aufgabenstellung ein fehler eingeschlichten
g(x,y) = (x + [mm] 1)^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
Gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> habe ich ja auch bei f, bei g hat sich bei der
> Aufgabenstellung ein fehler eingeschlichten
>
> g(x,y) = (x + [mm]1)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
Ja, dann rechne doch den Gradienten von $g$ aus.
Dann das Skalarprodukt der beiden Gradienten =0 setzen.
Da kommt dann der gewümnschte Einheitskreis raus ...
>
> Gruss Kuriger
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Di 21.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Aber eben bitte ebachte meine untere Frage, habe noch verständnisproblem
Danke, gruss Kuriger
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Di 21.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Mir leuchtet nicht wirklich ein, weshalb der Gradient keinen Z-Komponent habe.
wie gesagt f(x,y) ist ja eine Fläche im Raum, da müsste ja auch eine z-Komponente auftreten.
Ausser man projiziert die Fläche auf die x-y Ebene, dann kommt natürlich keine z- Koordinate vor. Also ich verstehe das offensichtlich noch nicht ganz
Gruss Kuriger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du eine Funktion mit nur einer Variablen x hast, etwa g(x), hat denn dann die Ableitung von g nach x eine "y-Komponente" ? Das wäre mir neu
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 21.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Ach ich habe ein riesen durcheinander.
> Wenn Du eine Funktion mit nur einer Variablen x hast, etwa
> g(x), hat denn dann die Ableitung von g nach x eine
> "y-Komponente" ? Das wäre mir neu
>
Nein aber
z. B.
y = [mm] 2t^2
[/mm]
y' = 4t
Wenn ich das aber in Parameterform schreibe
[mm] \vektor{x'(t) \\ y'(t)}
[/mm]
[mm] \vektor{t \\ 4t}
[/mm]
Ich verstehe nichts. Denn im Raum brauche ich ja ein z...
Beispielsweise hier : http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs15/seite40.html Da ist ja der Gradient senkrecht auf der der Fläche der Gestalt f(x,y) = ...
oder hier: [mm] http://www.iag.uni-hannover.de/~greite/ingSS07/dateien/maple/MI_5_4.html [/mm] beim Beispiel 3.
Das ist ja ein Paraboloid, welcher folgende Form hat
[mm] \bruch{x^2}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{b^2} [/mm] - z = 0
Dies könnte ich doch auch als folgende Funktion auffassen
f(x,y) = [mm] \bruch{x^2}{a^2} [/mm] + [mm] \bruch{y^2}{b^2}, [/mm] also genau sowas wie ich habe
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Hallo Kuriger,
> Ach ich habe ein riesen durcheinander.
>
>
> > Wenn Du eine Funktion mit nur einer Variablen x hast, etwa
> > g(x), hat denn dann die Ableitung von g nach x eine
> > "y-Komponente" ? Das wäre mir neu
> >
>
> Nein aber
> z. B.
> y = [mm]2t^2[/mm]
> y' = 4t
>
> Wenn ich das aber in Parameterform schreibe
> [mm]\vektor{x'(t) \\ y'(t)}[/mm]
> [mm]\vektor{t \\ 4t}[/mm]
>
> Ich verstehe nichts. Denn im Raum brauche ich ja ein z...
Jeder Punkt der Fläche [mm]z=f\left(x,y\right)[/mm]
läßt sich als Ortsvektor so auffassen:
[mm]\pmat{x \\ y \\ f\left(x,y\right)}[/mm]
>
> Beispielsweise hier :
> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs15/seite40.html
> Da ist ja der Gradient senkrecht auf der der Fläche der
> Gestalt f(x,y) = ...
> oder hier:
> [mm]http://www.iag.uni-hannover.de/~greite/ingSS07/dateien/maple/MI_5_4.html[/mm]
> beim Beispiel 3.
> Das ist ja ein Paraboloid, welcher folgende Form hat
>
> [mm]\bruch{x^2}{a^2}[/mm] + [mm]\bruch{y^2}{b^2}[/mm] - z = 0
> Dies könnte ich doch auch als folgende Funktion
> auffassen
> f(x,y) = [mm]\bruch{x^2}{a^2}[/mm] + [mm]\bruch{y^2}{b^2},[/mm] also genau
> sowas wie ich habe
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Di 21.12.2010 | | Autor: | Kuriger |
Hallo Mathepower
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> Jeder Punkt der Fläche [mm]z=f\left(x,y\right)[/mm]
> läßt sich als Ortsvektor so auffassen:
>
> [mm]\pmat{x \\ y \\ f\left(x,y\right)}[/mm]
f(x,y) = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm]
z = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm]
0 = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -z
Gradient dieser FUnktion [mm] \vektor{2x-2 \\ 2y \\ -1 }
[/mm]
Dann stimmt doch das doch?
gruss Kuriger
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Hallo Kuriger,
> Hallo Mathepower
>
>
> >
> > Jeder Punkt der Fläche [mm]z=f\left(x,y\right)[/mm]
> > läßt sich als Ortsvektor so auffassen:
> >
> > [mm]\pmat{x \\ y \\ f\left(x,y\right)}[/mm]
>
> f(x,y) = [mm](x-1)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
> z = [mm](x-1)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
> 0 = [mm](x-1)^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] -z
>
> Gradient dieser FUnktion [mm]\vektor{2x-2 \\ 2y \\ -1 }[/mm]
> Dann
> stimmt doch das doch?
Wenn z von keiner weiteren Variablen abhängig, dann stimmt das.
Dummerweise ist z von den Variablen x und y, daher stimmt das nicht.
>
> gruss Kuriger
>
Gruss
MathePower
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