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| Aufgabe | Für [mm] x\not=0 [/mm] sei f(x,y)=arctan(y/x).
i) Bestimmen Sie den Gradienten [mm] \Delta [/mm] f(x,y).
ii) Zeigen Sie: Falls [mm] x\not=0 [/mm] folgt [mm] \parallel\Delta f(x,y)\parallel= 1/\parallel(x,y)\parallel [/mm] und [mm] |xf_{x}(x,y)+yf_{y}(x,y)|\le1.
[/mm]
*Anmerkung: Dieses Zeichen [mm] \Delta [/mm] soll umgedreht sein. |
Hallo,
so meine Fragen sind bezüglich der Aufgabe folgende:
i) Wie bestimmt man den Gradienten? Was soll ein Gradient überhaupt ausdrücken?
ii) ???
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 26.05.2010 | | Autor: | fred97 |
In Deinem Fall ist
[mm] $\nabla [/mm] f(x,y)= [mm] (f_x(x,y),f_y(x,y))$
[/mm]
FRED
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muss ich das jetzt mit der jakobi matrix bestimmen?
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Hallo monstre123,
> muss ich das jetzt mit der jakobi matrix bestimmen?
Nein, was hat Fred denn geschrieben?
Hast du das nicht gelesen??
Bestimme die partiellen Ableitungen der Funktion nach x und y und packe sie in einen Vektor.
Gruß
schachuzipus
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hi,
so meine lösungen hierfür:
>> In Deinem Fall ist
>> [mm] \nabla [/mm] f(x,y)= [mm] (f_x(x,y),f_y(x,y))
[/mm]
[mm] f_{x}(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}} [/mm] , [mm] f_{y}(x,y)=\bruch{1}{1+y^{2}}
[/mm]
[mm] \nabla [/mm] f(x,y)= [mm] (\bruch{1}{1+x^{2}}, \bruch{1}{1+y^{2}})
[/mm]
richtig...?
und zur ii) was soll ich hierfür machen?
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Hallo nochmal,
> hi,
>
> so meine lösungen hierfür:
>
> >> In Deinem Fall ist
> >> [mm]\nabla[/mm] f(x,y)= [mm](f_x(x,y),f_y(x,y))[/mm]
>
> [mm]f_{x}(x,y)=\bruch{1}{1+x^{2}}[/mm] ,
> [mm]f_{y}(x,y)=\bruch{1}{1+y^{2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Beides falsch, du musst schon die Kettenregel beachten:
[mm] $\frac{\partial \arctan\left(\frac{y}{x}\right)}{\partial x}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\cdot{}\text{innere Ableitung nach x}$
[/mm]
>
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y)= [mm](\bruch{1}{1+x^{2}}, \bruch{1}{1+y^{2}})[/mm]
>
>
> richtig...?
>
>
> und zur ii) was soll ich hierfür machen?
Einfach beides geradeheraus ausrechnen.
Nimm die euklidische Norm [mm] $||\cdot{}||_2$ [/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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