Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion f [mm] \in C^1(X,\IR), X:=\IR^2 [/mm] \ {0} , mit
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X grad f(x)= [mm] \lambda (x)\*x [/mm] , [mm] \lambda \in C^0(X,\IR) [/mm] .
Zeigen Sie, daß es dann ein F [mm] \in C^1(\IR_{+},\IR) [/mm] gibt mit
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X f(x)=F(|x|)
Tip: [mm] g(t):=f(rcos(t),rsin(t)),r\in\IR_{+},t\in\IR. [/mm] g'(t)=? |
hallo also habe mal wieder Hausaufgaben auf bekommen und weiß wieder mal nicht wie ich voran gehen soll!Wäre super nett wenn mir jemand hier helfen könnte habe nämlich überhaupt keine Ahnung!weder einen Ansatz noch ne Idee!
Danke im Vorraus
LG
nimet
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:22 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
> Gegeben sei eine Funktion f [mm]\in C^1(X,\IR), X:=\IR^2[/mm] \ {0}
> , mit
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X grad f(x)= [mm]\lambda (x)\*x[/mm] , [mm]\lambda \in C^0(X,\IR)[/mm]
> .
Frage: Steht da [mm] $\lambda(x)$ [/mm] oder [mm] $\lambda(|x|)$? [/mm] Wenn da nämlich [mm] $\lambda(x)$ [/mm] steht, versteh ich die Aufgabe nicht.
> Zeigen Sie, daß es dann ein F [mm]\in C^1(\IR_{+},\IR)[/mm] gibt mit
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X f(x)=F(|x|)
>
> Tip: [mm]g(t):=f(rcos(t),rsin(t)),r\in\IR_{+},t\in\IR.[/mm] g'(t)=?
> hallo also habe mal wieder Hausaufgaben auf bekommen und
> weiß wieder mal nicht wie ich voran gehen soll!Wäre super
> nett wenn mir jemand hier helfen könnte habe nämlich
> überhaupt keine Ahnung!weder einen Ansatz noch ne Idee!
Ich versuche mal, die Aussage anschaulich zu formulieren. f ist ja eine Funktion eines Vektors im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit Werten in [mm] $\IR$. [/mm] Die Formel
[mm]\forall x \in X: \mathop{\mathrm{grad}} f(x)= \lambda (|x|)*x [/mm]
bedeutet, dass der Gradient von f in allen Punkten x die gleiche Richtung hat wie x selbst.
Nachzuweisen ist, dass dann f in Wirklichkeit nicht von x, sondern nur von $|x|$, also der Länge von x abhängt. DAs ist die Aussage, dass sich f schreiben lässt in der Form
[mm]\forall x \in X: f(x)=F(|x|) [/mm]
Geh doch von dieser Gleichung aus und berechne den Gradienten auf beiden Seiten.
Du kannst das entweder in kartesischen Koordinaten tun (Bedenke, dass [mm] $|x|=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$ [/mm] ist!), oder in Polarkoordinaten, das ist der Tipp.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
es steht im Aufgabenblatt genauso wie ich es aufgeschrieben habe also [mm] \lambda [/mm] (x) und nicht [mm] \lambda [/mm] (|x|)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> es steht im Aufgabenblatt genauso wie ich es aufgeschrieben
> habe also [mm]\lambda[/mm] (x) und nicht [mm]\lambda[/mm] (|x|)
Ja, stimmt, das kommt als Folgerung heraus, es ist nicht nötig, es vorauszusetzen.
Geh vom dem Tipp aus:
[mm] g(t) := f(r\cos t,r\sin t) [/mm]
Berechne $g'(t)$, dann setze die Bedingung [mm] $\mathop{\mathrm{\grad}} [/mm] f(x) = [mm] \lambda(x) [/mm] * x$ ein.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
danke für den tip bloß wie mache ich es???habe noch nie f von irgendwas abgeleitet!:( wäre für eine hilfe dankbar!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
> danke für den tip bloß wie mache ich es???habe noch nie f
> von irgendwas abgeleitet!:( wäre für eine hilfe dankbar!
Immer nur stur die Kettenregel anwenden:
[mm]\bruch{d}{dt} f(x_1(r,t),x_2(r,t)) =\bruch{\partial f}{\partial x_1}(x_1(r,t),x_2(r,t)) *\bruch{dx_1}{dt} + \bruch{\partial f}{\partial x_2}(x_1(r,t),x_2(r,t))*\bruch{dx_2}{dt} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
ok habe was raus, aber glaube nicht das es richtig ist!naja aus fehlern lernt man ja ;)
also: [mm] g'(t)=f'(rcos(t),rsin(t))\*(-rsin(t))+f'(rcos(t),rsin(t))\*(rcos(t))
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 So 22.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo nimet!
> ok habe was raus, aber glaube nicht das es richtig ist!naja
> aus fehlern lernt man ja ;)
>
> also:
> [mm]g'(t)=f'(rcos(t),rsin(t))\*(-rsin(t))+f'(rcos(t),rsin(t))\*(rcos(t))[/mm]
Nicht ganz. f ist ja eine Funktion zweier Variablen, und im ersten Term wird partiell nach der ersten, im zweiten partiell nach der zweiten Variablen abgeleitet. $f'$ ergibt da keinen Sinn.
Nächster Schritt: was haben diese partiellen Ableitungen mit dem Gradienten zu tun?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 22.06.2008 | | Autor: | nimet |
also wäre die ableitung bloß ohne f' sondern nur mit f richtig????
also habe hier ne definition dazu: Hier steht:
Ist f partiell differenzierbar, so heißt der Vektor grad [mm] f(x_{0},y_{0},z_{0}):=(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})) [/mm] der Gradient von f
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:35 Mo 23.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> also wäre die ableitung bloß ohne f' sondern nur mit f
> richtig????
Nein, du musst [mm] $f_{x_1}$ [/mm] und [mm] $f_{x_2}$ [/mm] schreiben.
> also habe hier ne definition dazu: Hier steht:
> Ist f partiell differenzierbar, so heißt der Vektor grad
> [mm]f(x_{0},y_{0},z_{0}):=(f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),f_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}))[/mm]
> der Gradient von f
Richtig, allerdings ist das in drei Dimensionen, du hast in der Aufgabe nur 2.
Also ist [mm] $f_{x_1}$ [/mm] die erste Komponente des Gradienten, [mm] $f_{x_2}$ [/mm] die zweite. Andererseits ist vorgegeben, dass
[mm]\mathop{\mathrm grad}} f(x) = \lambda(x) * x [/mm]
ist. Das musst du einsetzen.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:50 Mi 25.06.2008 | | Autor: | nimet |
Hallo rainer,
recht herzlichen Dank für deine Geduld und deine Mühe mir es verständlcih zu machen!
Habe die Aufgabe mit einer Freundin gelöst, indem wir deinen Ansatz benutzt haben ;)
Danke
LG Nimet
|
|
|
|
