Gradient < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Fr 07.07.2006 | | Autor: | Phecda |
hi ich lern gerade was der gradient ist und hab eine verständnisfrage. wenn ich eiene ebene fläche, welche durch die mehrwertige funktion f beschrieben wird, habe ist der gradient dann von f ein Nullvektor, der definitionsgemäß auf orthogonal zur fläche steht?
Ist bei einer unebenen Fläche der Winkel zwischen dem Gradientvektor und der Tangentialebene immer < 90?
Gibt es auch den Fall, dass der Gradient tangential zur (unebenen) Fläche verkläuft?
danke für eure erklärungen ;)
mfg Phecda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:51 Sa 08.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
da gibts wohl noch ein kleines Missverständnis bezüglich des Gradienten. Um das etwas auszuräumen schauen wir uns doch einfach mal eine Funktion [mm]f:\IR^2\rightarrow \IR[/mm] an. Rechts muss ja immer [mm] \IR [/mm] stehen, sonst gibts keinen Gradienten und links kann ich mir das ganze für Diemnsionen >2 nicht mehr vorstellen.
Graphisch kann man sich eine solche Funktion so vorstellen, dass man über jedem Punkt der (x,y)-Ebene den Funktionswert f(x,y) als z-Koordinate anträgt, der Graph ist also eine Fläche im dreidimensionalen Raum.
Der Gradient grad f(x,y) ist alleridngs ein zweidimensionaler Vektor: [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}\\\bruch{\partial f}{\partial y}}
[/mm]
Den Gradienten (im [mm] \IR^2) [/mm] kann man also gar nicht mit irgendeinem Punkt des Graphen (im [mm] \IR^3) [/mm] zusammenbringen, die befinden sich ja in ganz unterschiedlichen Räumen. Insbesondere gibt es also auch keinen Winkel zwischen dem Gradienten und der Fläche.
Der Gradient gibt einzig und allein die Richtung an, in der ich mich auf der (x,y)-Ebene bewegen muss, so dass die Funktionswerte am stärksten zunehmen.
Klärt das die Sache etwas auf oder habe ich Dich damit jetzt total verwirrt?
Gruß
piet
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