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| Aufgabe | [mm] F(x,y,z)=xe^{y}(1+z^{2}
[/mm]
Gradienten berechnen
Richtungsableitung [mm] \partial_{v}f [/mm] (2,1,-1) in Richtung eines beliebigen Vektors v=(v1,v2,v3) berechnen (Ergebnis in Abhängigkeit von v angeben) |
Hallo,
der Gradient sieht folgendermaßen aus:
[mm] \vektor{e^{y}(1+z^{2})\\xe^{y}(1+z^{2})\\xe^{y}2z}.
[/mm]
Muss ich das nun mit (2,1,-1) multiplizieren? Ich hatte eine AufgBe, wo ich das mit dem Vektor multiplizieren musste,der Vektor war dort vorgegeben. Jetzt ist hier die Richtungsableitung gegeben und der Vektor nicht. Wie gehe ich nun vor?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:17 So 30.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Vektor ist eben allgemein vorgegeben, also kommt v1,v2,v3 natürlich auch in der Lösung vor. ausserdem sollst du es an der gegebenen Stelle bestimmen.
x=2,y=1, z=-1 ist die Stelle, an der du die Richtungsableitung suchst. weist du, wie die definiert ist, und wie man sie ausrechnet?
Gruss leduart
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Hallo,
ne leider nicht. Also man muss ja den Gradienten mit dem Vektor multiplizieren, wodurch ich die Richtungsableitung eigentlich bekomme oder?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:29 So 30.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, das ist das Verfahren, trotzdem solltest du die Definition kennen bzw nachschlagen, und wissen warum das richtig ist. kommt in Klausuren und Prüfungen vor! Du studierst doch Mathe, da sollte man wirklich wert darauf legen, die definitionen zu verinnerlichen und nicht einfach nur rumrechnen.
also setz die Werte in den grad ein und multipliziere mit v, und mach dich schlau mit der Definition.
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 So 30.03.2014 | | Autor: | fred97 |
Ist f in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar, so ist
$ [mm] \partial_{v}f (x_0)=gradf(x_0)*v$
[/mm]
FRED
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Hallo,
danke, das heißt, das Ganze sieht folgendermaßen aus:
[mm] \vektor{2\\1\\-1}= (\vektor{1e^{y}(1+z^{2})\\xe^{y}(1+z^{2})\\xe^{y}2z)}*\vektor{v_1\\v_2\\v_3}
[/mm]
Wie mache ich nun weiter?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 30.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]\vektor{2\\1\\-1}= (\vektor{1e^{y}(1+z^{2})\\xe^{y}(1+z^{2})\\xe^{y}2z)}*\vektor{v_1\\v_2\\v_3}[/mm]
>
das ist sinnlos! links steht ein Vektor, rechts ein Skalarprodukt, also ein Skalar, damit ist das = egal was du meinst falsch.
Du willst doch den grad f an einer festen Stelle! Wenn dir jemand sagt, bestimme die Ableitung von [mm] f(x)=x^2 [/mm] an der Stelle x=2 was antwortest du dann? Hier r hast du den grad f wieder an einer bestimmten Stelle, nämlich am Punkt (2,1,-1) was ist da der grad?
Stell dir f(x,y,z) mal vor, z,B. als die Konzentration von Gift in der Athmosphäre, die an jeder Stelle anders ist.
jetzt überlegst du, wie ändert sich die Konzentration, wenn ich in x Richtung gehe, und am Punkt (2,1,-1) stehe. Dazu siehst du die Anderung in x Richtung an, also [mm] f_x
[/mm]
entsprechend, wenn du in y Richtung gehst [mm] f_y [/mm] usw- jetzt will dein Prof wissen, wie sich die Konzentration ändert wenn du in Richtung v gehst, das Ergebnis ist eine Zahl ich nenne sie a abhängig von der Richtung von v. Wenn du also in Richtung v ein kleines Stückchen [mm] \Delta [/mm] s gehst ändert sich die Konzentration um [mm] a*\Delta [/mm] s
nimm an du fängst bei (2.1.-1) an dann ist dirt die Konzentration f(2,1,-1) nach [mm] \delta [/mm] s in v richtung ist sie [mm] f(2,1,-1)+a*\Delta [/mm] s.
Also stell dir unter dem grad etwas vor, dann kannst du leichter mit ihm umgehen.
( ich erinnere mich nicht, war v ein Einheitsvektor? wenn nicht, alles gesagte gilt für v Einheitsvektor, wenn das nicht gegeben ist, dann musst du ihn noch dazu machen.)
Gruß leduart
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Hallo,
danke für die ausführliche Erläuterung, ich hoffe, ich habe es verstanden. Also muss ich vielleicht (2,1,-1) in den Gradienten für x,y,z einsetzen? Und as dann mit dem Vektor v1,v2,v3 multiplizieren?
Gruß
Ela
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Hallo,
> Hallo,
>
> danke für die ausführliche Erläuterung, ich hoffe, ich
> habe es verstanden. Also muss ich vielleicht (2,1,-1) in
> den Gradienten für x,y,z einsetzen? Und as dann mit dem
> Vektor v1,v2,v3 multiplizieren?
So sei es.
Das hatte Fred ja aber auch in seiner kurzen und knackigen Antwort geschrieben:
Die Richtungsableitung berechnet sich nach der Formel:
[mm] \text{grad}{}f(x_0)*v
[/mm]
Also, du hast ja schon den Gradienten. Also setze zunächst mal die Stelle ein. Dann hast du einen "konkreten Vektor" - also mit "richtigen Zahlen". Den multiplizierst du dann mit dem Richtungsvektor [mm] (v_1,v_2,v_3).
[/mm]
>
> Gruß
> Ela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 So 30.03.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Ok, vielen lieben Danke für die Antworten!
Gruß
Ela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 So 30.03.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo Ela
mich beunruhigt, dass du kein Wort dazu äußerst ob du jetzt die Idee verstanden hast, dass du mit vielleicht nachgefragt hast läßt mich daran zweifeln. Für den erfolg deines Studiums ist aber das Verständnis viel viel wichtiger, als dass du die richtigen Zahlen oder Formeln zu einem Übungszettel erzeugst.
Nett ist es außerdem, wenn du für spätere leser dein endgültiges Ergebnis zur Kontrolle postest.
Gruß leduart.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 So 30.03.2014 | | Autor: | xxela89xx |
Hallo leduart,
ich muss sagen, dass du das wirklich anschaulich beschrieben hast, so dass ich das durch deine Beispiele viel besser verstanden habe. Auch die anderen Posts haben mir weitergeholfen. Ich finde auch, dass man die ganzen Definitionen dahinter verstehen sollte, um dann die Aufgaben lösen zu können.
Ich danke die für deinen hilfreichen Antworten.
Freundliche Grüße
Ela
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