Grad von Körpererweiterungen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle des Polynoms [mm] 10X^7-3X^3-6X^2+9X-3 [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
Bestimmen Sie [mm] \IQ(\alpha^7):\IQ. [/mm] |
Damit kann ich überhaupt nicht viel anfangen.
Das gegebene Polynom ist meiner Meinung nach nach Eisenstein irreduzibel.
Daraus folgt ja schon mal, das [mm] \IQ(\alpha):\IQ=7 [/mm] ist.
Jetzt komme ich aber überhaupt nicht mehr weiter.
Gibt es überhaupt eine allgemeine Antwort für alle Nullstellen des Polynoms?
Das kann ich mir eigentlich nicht so richtig vorstellen.
Da das Polynom ja nur Koeffizienten aus [mm] \IZ [/mm] und damit aus [mm] \IR [/mm] hat, zerfällt es über [mm] \IR [/mm] in irreduzible Faktoren vom Grad 1 oder 2.
Hilft das irgendwie?
Ich vermute, dass [mm] \IQ(\alpha^7):\IQ=1 [/mm] für [mm] \alpha \in \IR [/mm] gilt.
Falls [mm] \alpha [/mm] aber nicht in [mm] \IR [/mm] liegt, liegt aber auch [mm] \alpha^7 [/mm] nicht in [mm] \IR. [/mm] Damit gilt auf jeden Fall: [mm] \IQ(\alpha^7):\IQ [/mm] > 1.
Aber so richtig bringt mich das alles nicht weiter.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Fr 14.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle des Polynoms
> [mm]10X^7-3X^3-6X^2+9X-3[/mm] über [mm]\IQ.[/mm]
> Bestimmen Sie [mm]\IQ(\alpha^7):\IQ.[/mm]
>
> Damit kann ich überhaupt nicht viel anfangen.
>
> Das gegebene Polynom ist meiner Meinung nach nach
> Eisenstein irreduzibel.
> Daraus folgt ja schon mal, das [mm]\IQ(\alpha):\IQ=7[/mm] ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt komme ich aber überhaupt nicht mehr weiter.
> Gibt es überhaupt eine allgemeine Antwort für alle
> Nullstellen des Polynoms?
Nein, aber das brauchst du auch nicht.
> Das kann ich mir eigentlich nicht so richtig vorstellen.
>
> Da das Polynom ja nur Koeffizienten aus [mm]\IZ[/mm] und damit aus
> [mm]\IR[/mm] hat, zerfällt es über [mm]\IR[/mm] in irreduzible Faktoren vom
> Grad 1 oder 2.
> Hilft das irgendwie?
Nicht das ich wuesste.
> Ich vermute, dass [mm]\IQ(\alpha^7):\IQ=1[/mm] für [mm]\alpha \in \IR[/mm]
> gilt.
> Falls [mm]\alpha[/mm] aber nicht in [mm]\IR[/mm] liegt, liegt aber auch
> [mm]\alpha^7[/mm] nicht in [mm]\IR.[/mm] Damit gilt auf jeden Fall:
> [mm]\IQ(\alpha^7):\IQ[/mm] > 1.
>
> Aber so richtig bringt mich das alles nicht weiter.
Also.
Du weisst [mm] $[\IQ(\alpha) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 7$. Da 7 eine Primzahl ist, gilt nach dem Gradsatz entweder [mm] $[\IQ(\alpha^7) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 1$ oder [mm] $[\IQ(\alpha^7) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 7$.
Schauen wir uns den Fall [mm] $[\IQ(\alpha^7) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 1$ genauer an. Das bedeutet ja, dass [mm] $\IQ(\alpha^7) [/mm] = [mm] \IQ$ [/mm] ist, also [mm] $\alpha^7 \in \IQ$. [/mm] Es gibt also ein [mm] $\beta \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $\alpha^7 [/mm] = [mm] -\beta$, [/mm] womit das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] gleich [mm] $X^7 [/mm] + [mm] \beta \in \IQ[X]$ [/mm] sein muss.
Du hast jetzt also zwei verschiedene Polynome von Grad 7, die das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] sein sollen. Was folgt daraus?
LG Felix
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Hi Felix !
>> Schauen wir uns den Fall $ [mm] [\IQ(\alpha^7) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 1 $ genauer an. Das bedeutet ja, dass $ [mm] \IQ(\alpha^7) [/mm] = [mm] \IQ [/mm] $ ist, also
>> $ [mm] \alpha^7 \in \IQ [/mm] $. Es gibt also ein $ [mm] \beta \in \IQ [/mm] $ mit $ [mm] \alpha^7 [/mm] = [mm] -\beta [/mm] $, womit das Minimalpolynom von $ [mm] \alpha [/mm] $
>> gleich $ [mm] X^7 [/mm] + [mm] \beta \in \IQ[X] [/mm] $ sein muss.
>> Du hast jetzt also zwei verschiedene Polynome von Grad 7, die das Minimalpolynom von $ [mm] \alpha [/mm] $
>> sein sollen. Was folgt daraus?
Den Teil verstehe ich, glaube ich.
Zwei verschiedene Minimalpolynome kann es nicht geben. Also ist [mm] \alpha^7 \not\in \IQ.
[/mm]
Insgesamt gilt dann also: [mm] Q(\alpha^7):Q=7.
[/mm]
Andererseits liegt [mm] \alpha^7 [/mm] in [mm] Q(\alpha). [/mm] Damit lässt sich der Gradsatz anwenden, wie du das ja oben auch gemacht hast.
Wenn das die Lösung ist, dann war die Aufgabe ja "eigentlich" doch sehr einfach.
Es gab aber sehr viele Punkte dafür. Das hinterläßt bei mir noch eine gewisse Restskepsis.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Fr 14.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> >> Schauen wir uns den Fall [mm][\IQ(\alpha^7) : \IQ] = 1[/mm]
> genauer an. Das bedeutet ja, dass [mm]\IQ(\alpha^7) = \IQ[/mm] ist,
> also
> >> [mm]\alpha^7 \in \IQ [/mm]. Es gibt also ein [mm]\beta \in \IQ[/mm] mit
> [mm]\alpha^7 = -\beta [/mm], womit das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm]
> >> gleich [mm]X^7 + \beta \in \IQ[X][/mm] sein muss.
>
> >> Du hast jetzt also zwei verschiedene Polynome von Grad
> 7, die das Minimalpolynom von [mm]\alpha[/mm]
> >> sein sollen. Was folgt daraus?
>
>
> Den Teil verstehe ich, glaube ich.
>
> Zwei verschiedene Minimalpolynome kann es nicht geben. Also
> ist [mm]\alpha^7 \not\in \IQ.[/mm]
Genau.
> Insgesamt gilt dann also: [mm]Q(\alpha^7):Q=7.[/mm]
Das folgt hieraus:
> Andererseits liegt [mm]\alpha^7[/mm] in [mm]Q(\alpha).[/mm] Damit lässt sich
> der Gradsatz anwenden, wie du das ja oben auch gemacht
> hast.
>
> Wenn das die Lösung ist, dann war die Aufgabe ja
> "eigentlich" doch sehr einfach.
> Es gab aber sehr viele Punkte dafür. Das hinterläßt bei
> mir noch eine gewisse Restskepsis.
Die Loesung stimmt aber schon. Vielleicht gibt es deswegen soviele Punkte, weil man mehr Kombinieren muss als bei anderen Aufgaben...
LG Felix
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