Grad vom Zerfällungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:07 So 08.02.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie einen Zerfällungskörper der Polynoms [mm] (X^3-2)(X^2-2) [/mm] über [mm] F_3 [/mm] sowie dessen Grad über [mm] F_3 [/mm] |
Hallo,
leider wurde die Lösung dieser Aufgabe in unseren Musterlösungen vergessen, desshalb würde ich gerne wissen, ob ich es richtig gemacht habe, da es gerade mit Blick auf die Klausur doch wichtig werden könnte.
Zuerst betrachte ich die Erweiterung [mm] [F_3(\wurzel[3]{2}), F_3]
[/mm]
Das Polynom dazu ist [mm] X^3-2. [/mm] Da es von Grad 3 ist, kann man schauen, ob Nullstellen im Körper liegen und für 2 sieht man, dass das Polynom 0 wird. Nach Polynomdivision durch X-2 erhalte ich [mm] X^2+2X+1 [/mm] was wieder mit 2 Null ergibt, also zerfällt das Polynom bereits über [mm] F_3 [/mm] und wir haben keine Erweiterung.
Hier stellt sich für mich eine kuze Zwischenfrage. Man könnte ja schnell annehmen, dass mit Eisenstein das Polynom irreduziebel wäre mit p=2, aber 2 ist ja in diesem Körper keine Prizmzahl. Wie findet man im Allgemeinen primzahlen im modulo Körpern? Gibt es Verfahen dazu? im Internet habe ich leider nichts gefunden.
Weiter möchte ich [mm] [F_3(\zeta),F_3] [/mm] betrachten, wobei [mm] \zeta [/mm] eine dritte Einheitswurzel ist. Das wollte ich betrachten da man theoretisch die Nullstellen des Polynoms [mm] X^3-2 [/mm] aus [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] und [mm] \zeta [/mm] zusammensetzen kann, muss man das nun überhaut noch betrachten, da ich zuvor schon berechnet habe, dass [mm] X^3-2 [/mm] über [mm] F_3 [/mm] zerfällt? Das zugehörige plolynom wäre [mm] X^3-1 [/mm] ist zerfällt dann analog zum obigen fall komplett über [mm] F_3. [/mm]
Wenn man zeigen konnte dass [mm] X^3-2 [/mm] über [mm] F_3 [/mm] zerfällt, dann sollten die dritten Einheitswurzeln, da ich sie nur für diesen Fall brauche, keine Rolle spielen und ich hätte mir das sparen können oder?
Also bleibt nur [mm] [F(\wurzel2),F_3] [/mm] zu betrachten, mit dem Polynom f(X)= [mm] X^2-2
[/mm]
Man rechnet dann nach, dass f(0)=-2, f(1)=-1 und f(2)=2 ist, also irreduziebel und somit ist der Grad =2 und somit der Grad vom Zerfällungskörper über [mm] F_3 [/mm] =2
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 10.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Di 10.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
Deine Frage ist anscheinend übersehen worden, zumindest von mir ...
> Bestimmen Sie einen Zerfällungskörper der Polynoms
> [mm](X^3-2)(X^2-2)[/mm] über [mm]F_3[/mm] sowie dessen Grad über [mm]F_3[/mm]
>
> Zuerst betrachte ich die Erweiterung [mm][F_3(\wurzel[3]{2}), F_3][/mm]
>
> Das Polynom dazu ist [mm]X^3-2.[/mm] Da es von Grad 3 ist, kann man
> schauen, ob Nullstellen im Körper liegen und für 2 sieht
> man, dass das Polynom 0 wird. Nach Polynomdivision durch
> X-2 erhalte ich [mm]X^2+2X+1[/mm] was wieder mit 2 Null ergibt, also
> zerfällt das Polynom bereits über [mm]F_3[/mm] und wir haben keine
> Erweiterung.
Perfekt!
>
> Hier stellt sich für mich eine kuze Zwischenfrage. Man
> könnte ja schnell annehmen, dass mit Eisenstein das
> Polynom irreduziebel wäre mit p=2, aber 2 ist ja in diesem
> Körper keine Prizmzahl. Wie findet man im Allgemeinen
> primzahlen im modulo Körpern? Gibt es Verfahen dazu? im
> Internet habe ich leider nichts gefunden.
In Körpern gibt es keine Primelemente, das bezieht sich alles auf Ringe, bei Eisenstein auf [mm] \IZ.
[/mm]
> Weiter möchte ich [mm][F_3(\zeta),F_3][/mm] betrachten, wobei [mm]\zeta[/mm]
> eine dritte Einheitswurzel ist.
Warum denn das?
> Das wollte ich betrachten
> da man theoretisch die Nullstellen des Polynoms [mm]X^3-2[/mm] aus
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] und [mm]\zeta[/mm] zusammensetzen kann, muss man das
> nun überhaut noch betrachten, da ich zuvor schon berechnet
> habe, dass [mm]X^3-2[/mm] über [mm]F_3[/mm] zerfällt? Das zugehörige
> plolynom wäre [mm]X^3-1[/mm] ist zerfällt dann analog zum obigen
> fall komplett über [mm]F_3.[/mm]
> Wenn man zeigen konnte dass [mm]X^3-2[/mm] über [mm]F_3[/mm] zerfällt, dann
> sollten die dritten Einheitswurzeln, da ich sie nur für
> diesen Fall brauche, keine Rolle spielen und ich hätte mir
> das sparen können oder?
>
> Also bleibt nur [mm][F(\wurzel2),F_3][/mm] zu betrachten, mit dem
> Polynom f(X)= [mm]X^2-2[/mm]
> Man rechnet dann nach, dass f(0)=-2, f(1)=-1 und f(2)=2
> ist, also irreduziebel und somit ist der Grad =2 und somit
> der Grad vom Zerfällungskörper über [mm]F_3[/mm] =2
Das stimmt.
Gruß
Dieter
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