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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Sa 21.08.2010 | | Autor: | Hynn |
Ich weiß, die Gleichung ist einfach, aber ich komme nicht dahinter, wie ich anfangen soll.
1. Versuch:
1+cos(x)=2sin(x) / :sin(x) bringt mich auch nicht weiter. Weiß nicht, was ich mit 1/sinx anfangen soll.
2. Versuch:
1+cos(x)=2sin(x) = 2sin(x)
= [mm] sin^2(x) [/mm] - [mm] cos^2(x) [/mm] + cos(x) = 2sin(x)
= [mm] sin^2(x) [/mm] - sin(x) - 1 +cos(x) = 2sin(x)
Was mach ich hier mit dem cos?
Danke im Voraus für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Sa 21.08.2010 | | Autor: | abakus |
> 1+cos(x)=2sin(x)
> Ich weiß, die Gleichung ist einfach, aber ich komme nicht
> dahinter, wie ich anfangen soll.
> 1. Versuch:
> 1+cos(x)=2sin(x) / :sin(x) bringt mich auch nicht weiter.
> Weiß nicht, was ich mit 1/sinx anfangen soll.
>
> 2. Versuch:
> 1+cos(x)=2sin(x) = 2sin(x)
> = [mm]sin^2(x)[/mm] - [mm]cos^2(x)[/mm] + cos(x) = 2sin(x)
> = [mm]sin^2(x)[/mm] - sin(x) - 1 +cos(x) = 2sin(x)
> Was mach ich hier mit dem cos?
>
> Danke im Voraus für jede Hilfe.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
ersetze sin(x) durch [mm] \pm\wurzel{1-cos^2(x)}, [/mm] quadriere die Gleichung und löse die entstehende quadratische Gleichung mit der Substitution z=cos(x).
Durch das Quadrieren entstehen neben den echten Lösungen auch Scheinlösungen, eine Probe ist unumgänglich.
Gruß Abakus
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Hallo Hynn,
> 1+cos(x)=2sin(x)
Ich denke, man kommt hier weiter, wenn man mit komplexen Zahlen arbeitet. Wie man es ohne sie hinkriegt, weiß ich gerade nicht.
[mm]1+\cos x=2\sin x\Leftrightarrow 1+\frac{1}{2}\left(e^{\operatorname{i}\!x}+e^{-\!\operatorname{i}\!x}\right)=2\cdot{}\frac{1}{2\operatorname{i}}\left(e^{\operatorname{i}\!x}-e^{-\!\operatorname{i}\!x}\right)\Leftrightarrow \operatorname{i}+\frac{\operatorname{i}}{2}\left(e^{\operatorname{i}\!x}+e^{-\operatorname{i}\!x}\right)=e^{\operatorname{i}\!x}-e^{-\operatorname{i}\!x}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow\operatorname{i}+\frac{\operatorname{i}}{2}\cdot{}e^{\operatorname{i}\!x}-e^{\operatorname{i}\!x}+\frac{\operatorname{i}}{2}\cdot{}e^{-\!\operatorname{i}\!x} + e^{-\!\operatorname{i}\!x}=0[/mm]
Jetzt teile auf beiden Seiten durch [mm]\tfrac{\operatorname{i}}{2}-1[/mm]. Setze anschließend [mm]z(x):=e^{\operatorname{i}\!x}[/mm] und forme die entstandene Gleichung so um, daß eine quadratische Gleichung rauskommt, die du mit der p/q-Formel berechnen kannst.
Gruß V.N.
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