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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ф=(1+√5):2
So lautet meines Wissens nach die Formel zur Bestimmung des Goldenen Schnittes. Die Konstante Φ ergibt hierbei eine irrationale Zahl (≈1,618). Von verschiedener Seite hört man, es wäre die irrationale Zahl überhaupt.
Dass diese Formel sich praktisch bewährt, steht außer Frage. Mich interessieren aber die logischen Hintergründe: Warum √5 ?
Ist diese Zahl nur aus (hypothetisch) fünfdimensionaler Sicht erfassbar?
Meine Vermutung entspringt der Tatsache, dass die Diagonale eines Quadrates sich aus a√2 ergibt und zur Bestimmung der Raumdiagonale eines Würfels entsprechend √3 zum Zuge kommt. Die natürliche Zahl, aus welcher man die Wurzel zieht entspricht immer auch zugleich der Zahl der Raumdimensionen, die für die Berechnung jeweils relevant sind.
Besteht vielleicht eine Beziehung zwischen √5 und der Fibonacci-Folge?
Fibonacci-Zahlen tendieren ja bekanntermaßen ebenfalls zum Goldenen Schnitt.
Wer kann mir hierzu etwas Weiterführendes sagen?
Mit freundlichen Grüßen, Major_Fromm
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Hallo Major_Fromm!
Zunächst einmal heiße ich dich herzlichst ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Guck mal bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia nach. Da hab ich eine schlüssige Herleitung gefunden. Vielleicht hilft dir das weiter.
Gruß,
Tommy
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Vielen Dank für die nette Begrüßung und den Linkverweis. 
Zu meiner Schande muss ich sagen: Ich kenne diese informative Seite schon, habe aber, was den mathematischen Teil betrifft, nicht alles verstanden.
Zitat:
In der mathematischen Literatur bezeichnet man den Goldenen Schnitt mit Φ, manchmal auch τ. Aus der oben angegeben Definition folgt
[mm] \Phi [/mm] = [mm] \frac{a}{b}= \frac{a+b}{a} [/mm] = [mm] 1+\frac{b}{a} [/mm] = 1+ [mm] \frac{1}{\Phi}
[/mm]
und daraus die quadratische Gleichung
Φ2 − Φ − 1 = 0
mit einer Lösung
[mm] \Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2} [/mm] = [mm] 1{,}618033988749894848204586834365638\dots [/mm]
Wäre es möglich, einen hoffnungslosen Nichtmathematiker in nachvollziehbaren Worten klarzumachen, wieso man als "Rechenwerkzeug" die Wurzel aus 5 verwendet, wenn gilt: a+b=c und a:b=c:a ?
Viele Grüße
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Hallo Major Fromm!
Hast Du es denn bis zur angegebenen quadratischen Gleichung [mm] $\Phi^2-\Phi-1 [/mm] \ = \ 0$ verstanden?
Denn hieraus ermitteln wir uns die positive Lösung (es gibt ja eigentlich zwei Lösungen) mit Hilfe der  p/q-Formel:
[mm] $\Phi_1 [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{-1}{2}+\wurzel{\left(\bruch{-1}{2}\right)^2-(-1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{5}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2}$
[/mm]
Nun klar(er)?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner,
vielen Dank für den vorgelegten Rechenweg. Wenn ich mir die Sache lange genug betrachte, erkenne ich die dahinterstehende (einfache) Logik. Auf diese Weise werden Zahlen "lebendig". Insofern sind Kunst und Ästhetik wohl eine Art angewandte Mathematik 
Mit freundlichen Grüßen,
Major_Fromm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Fr 22.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum der goldene Schnitt so heisst, wird verschieden begründet. meist aus der Kunst und Architektur, sicher nicht als Diagonale des 5-d Würfels, denn jede Wurzel kann man als Quadratwurzel des Würfels der entsprechenden Dimension auffassen.
Wenn du von einem Papierstück ein Quadrat der kürzeren Seite abschneidest, und ein Papier im gleichen "Format" d,h. Seitenverhaltnis übrig bleibt, kann man das immer weiter wiederholen theoretisch bis unendlich oft. Das ist eine anschauliches Zeichen dafür, dass [mm] \wurzel{5} [/mm] irrational ist.
Wenn du die Seiten des Papiers (in der Architektur oft eine Fassade) a und b nennst, dann muss ja gelten
$a:b=(b-a):a$
daraus folgt die quadratische Gleichung:
[mm] $a^2+b*a-b^2=0$
[/mm]
mit der Lösung [mm] $a=(1+\wurzel{5}/2*b$
[/mm]
und
[mm] $a=(1-\wurzel{5}/2*b$
[/mm]
Stell dir ein solches Stück Papier her, und schneids mal selbst!
Das wort"die irrationale Zahl überhaupt" kann nur von irgendwelchen Zahlenmystikern stammen, mathematisch sind Wurzeln besonders einfache irrationale Zahlen, und transzendente Zahlen wie e und [mm] \pi [/mm] vorallem die letzte, weil sie von sowas perfektem wie nem Kreis kommt sind sicher berühmtere irrationale Zahlen.
(transzendente Zahlen, sind Irrationalzahlen ,die man nicht als Wurzeln oder Kombination von solchen schreiben kann)
Gruss leduart
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