Globales Minimum und Maximum < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 04.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen.
Ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe:
Gegeben seien der Vektor [mm] \vec{a}=(4,6)^T [/mm] und die Funktion
f: D [mm] \to \IR, f(x,y)=\vec{a} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, [/mm] definiert auf dem Gebiet D= [mm] \left\{ (x,y) \in \IR^2 | 0 \le y \le 4-x^2 \right\}
[/mm]
Es soll nun begründet werden, warum f mindestens ein globales Minimum und Maximum besitzt.
Leider habe ich keine Ahnung wie ich da jetzt rangehen soll.
Hatte gehofft, dass mich folgende Definition weiter bringen könnte:
Eine stetige Funktion [mm] f:\IR^n \supset [/mm] A [mm] \to \IR [/mm] nimmt auf einer nicht leeren kompakten (Also abgeschlossenen und beschränkten) Menge A ihr Maximum und Minimum an.
Bin aber leider ein wenig überfordert, wie das beweisen kann.
hoffe ihr könnt mir helfen. mfg thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mi 04.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen.
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> Ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe:
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> Gegeben seien der Vektor [mm]\vec{a}=(4,6)^T[/mm] und die Funktion
> f: D [mm]\to \IR, f(x,y)=\vec{a} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix},[/mm]
> definiert auf dem Gebiet D= [mm]\left\{ (x,y) \in \IR^2 | 0 \le y \le 4-x^2 \right\}[/mm]
>
> Es soll nun begründet werden, warum f mindestens ein
> globales Minimum und Maximum besitzt.
>
> Leider habe ich keine Ahnung wie ich da jetzt rangehen
> soll.
Hallo,
der Term [mm] \vec{a} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \\ 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
[/mm]
beschreibt nichts anderes als das Produkt 4x+6y. Das ist nichts weiter als eine Ebene, die irgendwie "schräg" im Raum liegt, wobei ein Teil dieser Ebene durch
0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le 4-x^2 [/mm] begrenzt wird.
Da [mm] 4-x^2\ge [/mm] 0 ist, kann x nur zwischen 2 und -2 liegen, während y zwischen 0 und 4 liegt. Der Rand der Fläche gehört selbst mit zur Menge (es heißt immer [mm] "\le" [/mm] und nicht "<").
Hilft das weiter?
Gruß Abakus
>
> Hatte gehofft, dass mich folgende Definition weiter bringen
> könnte:
> Eine stetige Funktion [mm]f:\IR^n \supset[/mm] A [mm]\to \IR[/mm] nimmt auf
> einer nicht leeren kompakten (Also abgeschlossenen und
> beschränkten) Menge A ihr Maximum und Minimum an.
>
> Bin aber leider ein wenig überfordert, wie das beweisen
> kann.
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> hoffe ihr könnt mir helfen. mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 04.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo und danke für deine Hilfe...
Dann wäre ja somit eigentlich schon geklärt, dass die Funktion ein globales Mimum und Maximum besitzt. Da die Funktion ja Abgeschlossen und Beschränkt und somit Kompakt ist...
Das x zwischen nur zwischen 2 und -2 liegt ist nachvollziehbar. Aber warum liegt y zwischen 0 und 4. Das mag mir noch nicht so recht in den Kopf...
mfg thadod
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Hallo thadod,
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> Das x zwischen nur zwischen 2 und -2 liegt ist
> nachvollziehbar. Aber warum liegt y zwischen 0 und 4. Das
> mag mir noch nicht so recht in den Kopf...
Für alle Punkte (x,y) in D gilt [mm] 0\leq y\leq4-x^2. [/mm]
Nun, [mm] x^2 [/mm] ist ein Quadrat, also nichtnegativ. Wir können die Ungleichung also fortsetzen:
[mm] 0\leq y\leq4-x^2\leq4
[/mm]
>
> mfg thadod
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:26 Mi 04.05.2011 | | Autor: | thadod |
Gibt es eigentlich eine möglichkeit, dass globale Minimum und Maximum zu berechnen???
Ich müsste doch hierfür nur nach 0 auflösen um meine Extremwerte zu bestimmen oder? Aber wie kann ich das machen
[mm] 4-x^2=0 [/mm] wird ja hierfür kaum reichen oder?
mfg thadod
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 21:20 Mi 04.05.2011 | | Autor: | abakus |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 06.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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