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Ich habe die Funktion [mm]f(x,y):=x^2+y[/mm] unter der Bedingung [mm]x^2+y^2\le 1[/mm].
Es muss globale Extrema geben, da die Nebenbedingung als Funktion stetig ist, etc.! Nun suche ich die kritischen Punkte im offenen Kern und bleibe schon am Anfang "hängen".
[mm]f_x(x,y)=2x[/mm] und [mm]f_y(x,y)=1[/mm]....?
Wenn ich mir den Rand anschaue, kann ich eine neue Funktion [mm]g(y):=y-y^2+1[/mm] definieren. Mit [mm]g_y(y)=1-2y[/mm] und [mm]g_{yy}(y)=-2[/mm] erhalte ich das Minimum bei [mm]\bruch{5}{4}[/mm]. Für -1 und 1 jeweils [mm]g(-1)=-1 , g(1)=1[/mm].
Mache ich es bis zu diesem Punkt richtig (von dem Problem am Anfang abgesehen)?
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> Ich habe die Funktion [mm]f(x,y):=x^2+y[/mm] unter der Bedingung
> [mm]x^2+y^2\le 1[/mm].
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> Es muss globale Extrema geben, da die Nebenbedingung als
> Funktion stetig ist, etc.! Nun suche ich die kritischen
> Punkte im offenen Kern und bleibe schon am Anfang
> "hängen".
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> [mm]f_x(x,y)=2x[/mm] und [mm]f_y(x,y)=1[/mm]....?
Hallo wurzelquadrat,
Ja, es ist gradf(x,y)= [mm] \vektor{2x \\ 1}, [/mm] und das wird niemals = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] sein.
Also hat man in der offenen Kugel kein lokales Extremum.
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> Wenn ich mir den Rand anschaue, kann ich eine neue Funktion
> [mm]g(y):=y-y^2+1[/mm] definieren. Mit [mm]g_y(y)=1-2y[/mm] und [mm]g_{yy}(y)=-2[/mm]
> erhalte ich das Minimum
Eher ein Maximum für y= [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] oder steh ich auf dem Schlauch?
> bei [mm]\bruch{5}{4}[/mm].
Und für (0, [mm] \pm [/mm] 1) ein Minimum, das meintest Du wohl auch.
Gruß v. Angela
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> Eher ein Maximum für y= [mm]\bruch{1}{2},[/mm] oder steh ich auf dem
> Schlauch?
Nein, ich hatte mich verschrieben.
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> > bei [mm]\bruch{5}{4}[/mm].
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> Und für (0, [mm]\pm[/mm] 1) ein Minimum, das meintest Du wohl
> auch.
Ja, hier auch.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mi 12.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich mir den Rand anschaue, kann ich eine neue Funktion
> [mm]g(y):=y-y^2+1[/mm] definieren. Mit [mm]g_y(y)=1-2y[/mm] und [mm]g_{yy}(y)=-2[/mm]
> erhalte ich das Minimum bei [mm]\bruch{5}{4}[/mm]. Für -1 und 1
> jeweils [mm]g(-1)=-1 , g(1)=1[/mm].
Ich verstehe einfach nicht, wie du auf das g kommst - was soll das hier bewirken? Das sehe ich gerade nicht ... (obwohl irgendwie da die kritschen Punkte ehraus kommen.)
Es gibt da min. zwei andere Wege, das zu lösen: zum einen mit Langrange Multiplikatoren. Zum anderen kann man den Einheitskries mit [m](\cos(t),\sin(t))[/m] parametrisieren.
Zur anderen Mitteilung: [m](0,1)[/m] ist sicher kein Minium unter der Neben bedingung! noch nichtmal ein lokales!
SEcki
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> > Wenn ich mir den Rand anschaue, kann ich eine neue Funktion
> > [mm]g(y):=y-y^2+1[/mm] definieren. Mit [mm]g_y(y)=1-2y[/mm] und [mm]g_{yy}(y)=-2[/mm]
> > erhalte ich das Minimum bei [mm]\bruch{5}{4}[/mm]. Für -1 und 1
> > jeweils [mm]g(-1)=-1 , g(1)=1[/mm].
>
> Ich verstehe einfach nicht, wie du auf das g kommst - was
> soll das hier bewirken? Das sehe ich gerade nicht ...
> (obwohl irgendwie da die kritschen Punkte ehraus kommen.)
Ich setze die Nebenbedingung für den Rand in die Funktion ein:
[mm]x^2+y^2=1\Rightarrow x^2=1-y^2 \Rightarrow
g(y)=y-y^2+1[/mm]
Dann leite ich zweimal ab:
[mm]g_y(y)=1-2y[/mm] und [mm]g_{yy}(y)=-2>0[/mm] Damit ist [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ein Maximum. Nun setze ich noch die beiden Randpunkte [mm] \pm [/mm] 1 ein und erhalte die anderen beiden Extrema
> Es gibt da min. zwei andere Wege, das zu lösen: zum einen
> mit Langrange Multiplikatoren. Zum anderen kann man den
> Einheitskries mit [m](\cos(t),\sin(t))[/m] parametrisieren.
>
> Zur anderen Mitteilung: [m](0,1)[/m] ist sicher kein Minium unter
> der Neben bedingung! noch nichtmal ein lokales!
Das globale Minimum ist doch [mm](0,-1)[/mm], oder?
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Hallo zusammen,
zusammenfassen kann man das ergebnis folgendermaßen:
Eine diffbare funktion soll auf einer kompakten menge, nämlich der abgeschlossenen einheitskreisscheibe im [mm] $\IR^2$ [/mm] auf globale extrema untersucht werden, die offensichtlich laut voraussetzung auch existieren müssen.
Da es keine kritischen Punkte gibt, müssen die Extrema auf dem Rand zu finden sein, das führt zu der funktion
[mm] $g(y)=y-y^2+1$ [/mm] für $-1<=y<=1$
das maximum von $g$ liegt bei [mm] $y=\bruch{1}{2}$ [/mm] vor mit dem Wert [mm] $\bruch{5}{4}$. [/mm] $g(-1)=-1$ ist Minimum. Also sind [mm] $(\bruch{\wurzel{3}}{2},\bruch{1}{2})$ [/mm] und $(0,-1)$ die gesuchten Punkte, in denen globales Maximum bzw. Minimum angenommen werden.
Viele Grüße
Matthias
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