Globaler Existenzsatz < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Do 01.11.2018 | | Autor: | Takota |
| Aufgabe | Satz
Wenn für $k,l \ [mm] \varepsilon [/mm] \ [mm] \{1,2,...,n\}$ [/mm] die Funktion [mm] $a_k_l(x)$ [/mm] und [mm] $b_k(x)$ [/mm] stetige Funktionen auf dem Intervall [mm] $(\alpha,\beta) \subset \IR [/mm] $
sind, dann existiert für das lineare Anfangswertproblem
[mm] $\vec [/mm] y ' = A(x) [mm] \cdot \vec [/mm] y + [mm] \vec [/mm] b(x), \ [mm] \vec [/mm] y [mm] (x_0) [/mm] = [mm] \vec y_0$
[/mm]
zu jedem [mm] $x_0\ \varepsilon [/mm] \ [mm] (\alpha, \beta)$ [/mm] eine Lösung auf dem ganzen Intervall [mm] $(\alpha, \beta)$. [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand diesen Satz intuitiv oder anschaulich begründen?
Wie kann man das Einsehen?
Vorausetzungen sind hier ja:
a) Funktionen [mm] $a_k_l(x)$ [/mm] und [mm] $b_k(x)$ [/mm] sind stetig auf dem ganzen Intervall [mm] $(\alpha, \beta)$. [/mm]
b) DGL ist linear
LG
Takota
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Do 01.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Satz
> Wenn für [mm]k,l \ \varepsilon \ \{1,2,...,n\}[/mm] die Funktion
> [mm]a_k_l(x)[/mm] und [mm]b_k(x)[/mm] stetige Funktionen auf dem Intervall
> [mm](\alpha,\beta) \subset \IR[/mm]
> sind, dann existiert für das
> lineare Anfangswertproblem
>
> [mm]\vec y ' = A(x) \cdot \vec y + \vec b(x), \ \vec y (x_0) = \vec y_0[/mm]
>
> zu jedem [mm]x_0\ \varepsilon \ (\alpha, \beta)[/mm] eine Lösung
> auf dem ganzen Intervall [mm](\alpha, \beta)[/mm].
>
> Hallo,
> kann mir jemand diesen Satz intuitiv oder anschaulich
> begründen?
> Wie kann man das Einsehen?
>
> Vorausetzungen sind hier ja:
>
> a) Funktionen [mm]a_k_l(x)[/mm] und [mm]b_k(x)[/mm] sind stetig auf dem
> ganzen Intervall [mm](\alpha, \beta)[/mm].
>
> b) DGL ist linear
>
> LG
> Takota
Ist I ein kompaktes Teilintervall von [mm] (\alpha, \beta), [/mm] , welches [mm] x_0 [/mm] enthält, so hat das Anfangswertproblem auf I genau eine Lösung. Das sieht man mit Picard-Lindelöf.
Da I beliebig war folgt das Gewünschte
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Fr 02.11.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo Fred,
wie hängen damit die Voraussetzungen a) und b) zusammen?
Zu a) fällt mir folgende Überlegung ein:
Wenn a) gilt sind schon einmal keine Sprünge und Polstellen in dem offenen Intervall (a,b) zu erwaten
Aber warum funktioniert der Satz nur für lineare DGL-Systeme?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Fr 02.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> wie hängen damit die Voraussetzungen a) und b) zusammen?
>
> Zu a) fällt mir folgende Überlegung ein:
>
> Wenn a) gilt sind schon einmal keine Sprünge und
> Polstellen in dem offenen Intervall (a,b) zu erwaten
?????
>
> Aber warum funktioniert der Satz nur für lineare
> DGL-Systeme?
Der Satz von Picard-Lindelöf funktioniert nicht nur für lineare Saysteme, aber in der Aufgabe hast Du nun mal ein lineares System !
Ich zeigs Dir:
Wir setzen [mm] $J=(\alpha, \beta)$ [/mm] und für $m [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m]$. [/mm] Für hinreichend großes m ist [mm] $x_0 \in I_m \subseteq [/mm] J$. Wir können von [mm] $x_0 \in I_m \subseteq [/mm] J$ für alle m ausgehen.
Da [mm] I_m [/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm] c_m \ge [/mm] 0 mit $||A(x)|| [mm] \le c_m$ [/mm] für alle $x [mm] \in I_m$.
[/mm]
Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm] \vec{y} [/mm] etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
Für $x [mm] \in I_m$ [/mm] und $y,z [mm] \in \IR^n$ [/mm] haben wir
$||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| [mm] \le [/mm] ||A(x)|| [mm] \cdot [/mm] ||y-z|| [mm] \le c_m \cdot [/mm] ||y-z|| $.
Picard-Lindelöf sagt nun:
(*) das Anfangswertproblem hat auf [mm] I_m [/mm] genau eine Lösung [mm] y_m.
[/mm]
Nun definiere $y:J [mm] \to \IR^m$ [/mm] wie folgt: für x [mm] \in [/mm] J setze [mm] y(x)=y_m(x), [/mm] falls x [mm] \in I_m.
[/mm]
y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm] \in I_k, [/mm] so folgt aus (*), dass [mm] y_m=y_k [/mm] auf [mm] I_m \cap I_m, [/mm] also auch [mm] y_m(x)=y_k(x).
[/mm]
Nun überlege Dir, dass die Funktion y das Anfangswertproblem auf J löst.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 10.11.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo Fred,
> Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> für alle m ausgehen.
>
> Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> für alle [mm]x \in I_m[/mm].
Mit der Matrixnorm kenne ich mich nicht so aus. Ich stelle mir aber daß so vor, daß es unter den x-Werten aus dem kompakten Intervall [mm] $I_m$ [/mm] nur eines geben kann, welches die Matrixnorm maximal macht aber nicht unentlich groß, so daß man immer eine Zahl [mm] $c_m$ [/mm] finden kann die noch größer als die Matrixnorm ist.
> Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]
> etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
>
> Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
>
> [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
Ist das die Lipschitz-Bedingung? Ist das hier auch der Punkt, wo die Voraussetzung "linear" eine Rolle spielt?
> Picard-Lindelöf sagt nun:
>
>
> (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> [mm]y_m.[/mm]
>
> Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
Wird J hier nicht in den [mm] $\IR^n$ [/mm] abgebildet?
> y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
gemeint ist wohl [mm]I_m \cap I_k,[/mm] ?
> also auch
> [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
>
> Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> Anfangswertproblem auf J löst.
Ich stelle mir momentan das so vor:
Wir haben eine eindeutige Lösung y(x) in der Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] im offen Intervall J. Das garantiert uns Picard-Lindelöf. Der Trick ist wohl, das du ein variables, kompaktes Intervall, [mm] $I_m$ [/mm] um den Punkt [mm] $x_0$ [/mm] eingeführt hast.
[mm] $I_m$ [/mm] kann bliebig nahe an die Grenzen von dem offenen Intervall geschoben werden. Letztendlich kann ich dadurch für jedes [mm] $x_0$ [/mm] innerhalb von dem offenen Intervall J ein kompaktes Intervall konstruieren und darauf dann die oben aufgeführte Lipschitz-Bedingung anwenden, da ja die Funktionen A(x) und b(x) auf dem offenen Intervall J nach Voraussetzung existieren und stetig sind. Wenn z.B., [mm] $x_0$ [/mm] ganz dicht an den Grenzen des offenen Intervalls J liegen würde, könnte ich immer noch ein Intervall [mm] $I_m$ [/mm] darum konstruieren. Nun kann man diese unendlich viele Intervalle zu einem großen, kompakten Intervall vereinigen. Daraus folgt schließlich, das y(x) auf dem ganzen Intervall J definiert ist.
Bitte um Rückmeldung.
LG
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Mo 12.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> > [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> > ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> > für alle m ausgehen.
> >
> > Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> > für alle [mm]x \in I_m[/mm].
>
> Mit der Matrixnorm kenne ich mich nicht so aus. Ich stelle
> mir aber daß so vor, daß es unter den x-Werten aus dem
> kompakten Intervall [mm]I_m[/mm] nur eines geben kann, welches die
> Matrixnorm maximal macht aber nicht unentlich groß, so
> daß man immer eine Zahl [mm]c_m[/mm] finden kann die noch größer
> als die Matrixnorm ist.
Die Abbildung [mm] x\mapsto [/mm] A(x) ist stetig, damit ist auch n(x):=||A(x)|| stetig. Folglich ex. [mm] c_m:= \max \{||A(x)||: x \in I_m\}$ [/mm] weil [mm] I_m [/mm] kompakt ist.
Dieses Maximum kann aber durchaus an mehreren Stellen aus [mm] I_m [/mm] angenommen werden (denke mal eine eine konstante Funktion A).
>
>
> > Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]
> > etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
> >
> > Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
> >
> > [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>
> Ist das die Lipschitz-Bedingung?
Ja, die Funktion F genügt auf [mm] I_m \times \IR^n [/mm] einer Lipschitzbedingung bezüglich der zweiten Variablen.
> Ist das hier auch der
> Punkt, wo die Voraussetzung "linear" eine Rolle spielt?
Hier spielt die spezielle Gestalt von F die entscheidende Rolle.
>
> > Picard-Lindelöf sagt nun:
> >
> >
> > (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> > [mm]y_m.[/mm]
> >
> > Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> > [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
> Wird J hier nicht in den
> [mm]\IR^n[/mm] abgebildet?
Ups, ja, da hab ich mich vertippt.
>
> > y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> > (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
>
> gemeint ist wohl [mm]I_m \cap I_k,[/mm] ?
Nochmal ups, nochmal ja, da hab ich mich nochmal vertippt.
>
> > also auch
> > [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
> >
> > Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> > Anfangswertproblem auf J löst.
>
> Ich stelle mir momentan das so vor:
> Wir haben eine eindeutige Lösung y(x) in der Umgebung von
> [mm]x_0[/mm] im offen Intervall J. Das garantiert uns
> Picard-Lindelöf.
Nein, das garantiert uns der Satz (noch) nicht. Wir habe zunächst "nur": auf jedem [mm] I_m [/mm] hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung [mm] y_m. [/mm] Das haben wir oben gezeigt.
> Der Trick ist wohl, das du ein variables,
> kompaktes Intervall, [mm]I_m[/mm] um den Punkt [mm]x_0[/mm] eingeführt hast.
> [mm]I_m[/mm] kann bliebig nahe an die Grenzen von dem offenen
> Intervall geschoben werden. Letztendlich kann ich dadurch
> für jedes [mm]x_0[/mm] innerhalb von dem offenen Intervall J ein
> kompaktes Intervall konstruieren und darauf dann die oben
> aufgeführte Lipschitz-Bedingung anwenden, da ja die
> Funktionen A(x) und b(x) auf dem offenen Intervall J nach
> Voraussetzung existieren und stetig sind. Wenn z.B., [mm]x_0[/mm]
> ganz dicht an den Grenzen des offenen Intervalls J liegen
> würde, könnte ich immer noch ein Intervall [mm]I_m[/mm] darum
> konstruieren. Nun kann man diese unendlich viele Intervalle
> zu einem großen, kompakten Intervall vereinigen. Daraus
> folgt schließlich, das y(x) auf dem ganzen Intervall J
> definiert ist.
Mit Verlaub, das ist alles ziemlicher Unsinn. Wir haben auf jedem [mm] I_m [/mm] die Lösung [mm] y_m. [/mm] Daraus habe ich eine Funktion y:J [mm] \to \IR [/mm] gebastelt.
Nun sind noch die folgenden Dinge zu zeigen:
1. y ist auf J differenzierbar;
2. y ist auf J eine Lösung der DGL und erfüllt die Anfangsbedingung.
>
> Bitte um Rückmeldung.
>
> LG
> Takota
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mi 14.11.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo Fred,
ich glaube die Beweise bekomme ich nicht hin, ich bin schon froh, wenn ich den Beweisen von euch Mathematikern einigermaßen folgen kann  Ansonsten bin ich auch mit einer plausiblen, anschaulichen oder intuitiven Begründung zufrieden.
Hier nochmal ein Versuch von mir:
Man könnte doch gleich von vornherein sich ein Intervall [mm] $I_\infty$ [/mm] für $m -> [mm] \infty$ [/mm] vorstellen, indem alle möglichen [mm] x_0 [/mm] Werte vorkommen können. Für [mm] $I_\infty$ [/mm] muß auch die Lipschitz-Bedingung gelten, da A(x) und b(x) auf dem ganzen Intervall J stetig sind. D.h., daß die Lösung y(x) auf dem ganzen Intervall definiert ist.
Gruß
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:10 Do 15.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> ich glaube die Beweise bekomme ich nicht hin, ich bin schon
> froh, wenn ich den Beweisen von euch Mathematikern
> einigermaßen folgen kann Ansonsten bin ich auch mit
> einer plausiblen, anschaulichen oder intuitiven Begründung
> zufrieden.
>
> Hier nochmal ein Versuch von mir:
>
> Man könnte doch gleich von vornherein sich ein Intervall
> [mm]I_\infty[/mm] für [mm]m -> \infty[/mm] vorstellen,
Das wäre dann das Intervall J !
> indem alle
> möglichen [mm]x_0[/mm] Werte vorkommen können.
Hä ? [mm] x_0 [/mm] ist fest !
> Für [mm]I_\infty[/mm] muß
> auch die Lipschitz-Bedingung gelten, da A(x) und b(x) auf
> dem ganzen Intervall J stetig sind.
Das stimmt nicht. Betrachten wir den Fall n=1 mit [mm] A(x)=x^2 [/mm] und b(x)=0 auf J = [mm] \IR.
[/mm]
Wenn das was Du oben schreibst richtig wäre, so müsste A auf J beschränkt sein.
> D.h., daß die Lösung
> y(x) auf dem ganzen Intervall definiert ist.
>
> Gruß
> Takota
>
Die Sache ist doch recht einfach, wenn Du die Definition von y verwendest. Wenn Du das nicht tust, so bekommst Du doch nie raus , dass y Lösung des AWPs ist !
Sei u [mm] \in [/mm] J. Dann gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit $u [mm] \in J_m:=(\alpha+1/m, \beta-1/m) \subset I_m [/mm] $.
Nach Definition von y gilt dann
[mm] $y=y_m [/mm] $ auf [mm] J_m.
[/mm]
Da [mm] y_m [/mm] auf [mm] J_m [/mm] differenzierbar ist, ist also y auf [mm] J_m [/mm] differenzierbar, insbesonder auch in u.
Weiter gilt [mm] $y'(u)=y_m'(u)=A(u)y_m(u)+b(u)=A(u)y(u)+b(u)$.
[/mm]
Damit ist gezeigt, dass y differenzierbar auf J ist und auf J eine Lösung der DGL ist.
Fast trivial ist: [mm] y(x_0)=y_m(x_0)=y_0.
[/mm]
Fazit: y löst das AWP auf J.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 So 18.11.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo Fred.
> Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> für alle m ausgehen.
>
> Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> für alle [mm]x \in I_m[/mm].
>
> Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]
> etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
>
> Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
>
> [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>
> Picard-Lindelöf sagt nun:
>
>
> (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> [mm]y_m.[/mm]
>
> Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
>
> y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
1) Muß es nicht heißen: [mm]I_m \cup I_k,[/mm], also Vereinigung?
also auch
> [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
>
> Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> Anfangswertproblem auf J löst.
>
2) Ich denke, ich muß mir daß mit den Intervallen nochmal klar machen:
Skizze:
Die oben genannten Intervalle mit Klammern dargestellt:
J = (...) Offenes Intervall
[mm] $I_m$ [/mm] = [...] Kompaktes Intervall
[mm] $I_k$ [/mm] = <...> Kompaktes Intervall
[mm] $x_0$ [/mm] Anfangswert
P-L = Satz von Picard-Lindelöf
damit:
[mm] (...<...[...x,...$x_0$......]...>...) [/mm] Hier ist das x und [mm] $x_0$ [/mm] innerhalb des Intervalls [mm] $I_m$
[/mm]
[mm] (...<..x.....[......$x_0$......]...>...) [/mm] Hier steht das x innerhalb des Intervalls [mm] $I_k$, [/mm] bzw. außerhalb von [mm] $I_m$. [/mm]
Man kann also die Mengen vereinigen zu: [mm] $I_{neu}$ [/mm] := [mm] $I_m \cup I_k$ [/mm] = <...> (Kompaktes Intervall).
Also: [mm] (...<..x...........$x_0$.........>...) [/mm] Auch hier gilt wieder P-L für [mm] $x_0$, [/mm] aber das Intervall ist jetzt größer geworden. So sukzessiv weitergedacht, bekommt man für jedes x (in dem Intervall J) ein y. Also existiert y(x) auf dem ganzen Intervall J.
Falls meine Bemerkung zu 1) falsch war, ist zwei wohl hinfällig
Bitte um Rückmeldung!
Gruß
Takota
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 18.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred.
>
> > Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> > [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> > ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> > für alle m ausgehen.
> >
> > Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> > für alle [mm]x \in I_m[/mm].
> >
> > Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]
> > etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
> >
> > Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
> >
> > [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>
> >
> > Picard-Lindelöf sagt nun:
> >
> >
> > (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> > [mm]y_m.[/mm]
> >
> > Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> > [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
> >
> > y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> > (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
>
> 1) Muß es nicht heißen: [mm]I_m \cup I_k,[/mm], also Vereinigung?
Nein. Überleg doch mal worum es geht : um die Wohldefiniertheit der Funktion y.
>
> also auch
> > [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
> >
> > Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> > Anfangswertproblem auf J löst.
> >
>
> 2) Ich denke, ich muß mir daß mit den Intervallen nochmal
> klar machen:
>
> Skizze:
>
> Die oben genannten Intervalle mit Klammern dargestellt:
> J = (...) Offenes Intervall
> [mm]I_m[/mm] = [...] Kompaktes Intervall
> [mm]I_k[/mm] = <...> Kompaktes Intervall
>
> [mm]x_0[/mm] Anfangswert
>
> P-L = Satz von Picard-Lindelöf
>
>
> damit:
>
> (...<...[...x,...[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier ist das x und [mm]x_0[/mm]
> innerhalb des Intervalls [mm]I_m[/mm]
>
> (...<..x.....[......[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier steht das x
> innerhalb des Intervalls [mm]I_k[/mm], bzw. außerhalb von [mm]I_m[/mm].
> Man kann also die Mengen vereinigen zu: [mm]I_{neu}[/mm] := [mm]I_m \cup I_k[/mm]
> = <...> (Kompaktes Intervall).
> Also: (...<..x...........[mm]x_0[/mm].........>...) Auch hier gilt
> wieder P-L für [mm]x_0[/mm], aber das Intervall ist jetzt größer
> geworden. So sukzessiv weitergedacht, bekommt man für
> jedes x (in dem Intervall J) ein y. Also existiert y(x) auf
> dem ganzen Intervall J.
Was soll das ganze? Ich hab glasklar definiert, wie y auf J definiert ist. Was hast Du für Probleme damit ?
>
> Falls meine Bemerkung zu 1) falsch war, ist zwei wohl
> hinfällig
>
> Bitte um Rückmeldung!
>
> Gruß
> Takota
>
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 20.11.2018 | | Autor: | Takota |
Hallo Fred,
> > Hallo Fred.
> >
> > > Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> > > [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> > > ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> > > für alle m ausgehen.
> > >
> > > Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> > > für alle [mm]x \in I_m[/mm].
> > >
> > > Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]
> > > etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
> > >
> > > Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
> > >
> > > [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>
> >
> > >
> > > Picard-Lindelöf sagt nun:
> > >
> > >
> > > (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> > > [mm]y_m.[/mm]
> > >
> > > Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> > > [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
> > >
> > > y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> > > (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
> >
> > 1) Muß es nicht heißen: [mm]I_m \cup I_k,[/mm], also Vereinigung?
>
> Nein. Überleg doch mal worum es geht : um die
> Wohldefiniertheit der Funktion y.
> >
> > also auch
> > > [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
> > >
> > > Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> > > Anfangswertproblem auf J löst.
> > >
> >
> > 2) Ich denke, ich muß mir daß mit den Intervallen nochmal
> > klar machen:
> >
> > Skizze:
> >
> > Die oben genannten Intervalle mit Klammern dargestellt:
> > J = (...) Offenes Intervall
> > [mm]I_m[/mm] = [...] Kompaktes Intervall
> > [mm]I_k[/mm] = <...> Kompaktes Intervall
> >
> > [mm]x_0[/mm] Anfangswert
> >
> > P-L = Satz von Picard-Lindelöf
> >
> >
> > damit:
> >
> > (...<...[...x,...[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier ist das x und [mm]x_0[/mm]
> > innerhalb des Intervalls [mm]I_m[/mm]
> >
> > (...<..x.....[......[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier steht das x
> > innerhalb des Intervalls [mm]I_k[/mm], bzw. außerhalb von [mm]I_m[/mm].
> > Man kann also die Mengen vereinigen zu: [mm]I_{neu}[/mm] := [mm]I_m \cup I_k[/mm]
> > = <...> (Kompaktes Intervall).
> > Also: (...<..x...........[mm]x_0[/mm].........>...) Auch hier gilt
> > wieder P-L für [mm]x_0[/mm], aber das Intervall ist jetzt größer
> > geworden. So sukzessiv weitergedacht, bekommt man für
> > jedes x (in dem Intervall J) ein y. Also existiert y(x) auf
> > dem ganzen Intervall J.
>
> Was soll das ganze? Ich hab glasklar definiert, wie y
> auf J definiert ist. Was hast Du für Probleme damit
> ?
Hallo Fred, ich wollte mir einfach die Intervalle nach deinen Ausführungen bildlich darstellen. Das Intervall [mm] $I_m$ [/mm] ist mir soweit klar, aber wie das mit dem Intervall [mm] $I_k$ [/mm] gemeint ist nicht ganz. Das Intervall [mm] $I_k$ [/mm] muß sich ja irgendwie mit [mm] $I_m$ [/mm] überlappen um eine Schnittmenge zu bilden?
Tut mir leid, das ich bei diesem Thema schwer von Begriff bin. Hoffe du hast noch Geduld mit mir
> > Falls meine Bemerkung zu 1) falsch war, ist zwei wohl
> > hinfällig
> >
> > Bitte um Rückmeldung!
>
>
> >
> > Gruß
> > Takota
> >
> >
> >
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Mi 21.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo Fred.
> > >
> > > > Wir setzen [mm]J=(\alpha, \beta)[/mm] und für [mm]m \in \IN[/mm] sei
> > > > [mm]I_m:=[\alpha+1/m, \beta-1/m][/mm]. Für hinreichend großes m
> > > > ist [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]. Wir können von [mm]x_0 \in I_m \subseteq J[/mm]
> > > > für alle m ausgehen.
> > > >
> > > > Da [mm]I_m[/mm] kompakt ist, gibt es ein [mm]c_m \ge[/mm] 0 mit [mm]||A(x)|| \le c_m[/mm]
> > > > für alle [mm]x \in I_m[/mm].
> > > >
> > > > Im Folgende lasse ich die bekloppten Pfeile in [mm]\vec{y}[/mm]
> > > > etc... weg und setze F(x,y)=A(x)y+b(x).
> > > >
> > > > Für [mm]x \in I_m[/mm] und [mm]y,z \in \IR^n[/mm] haben wir
> > > >
> > > > [mm]||F(x,y)-F(x,z)||=||A(x)y-A(x)z||=||A(x)(y-z)|| \le ||A(x)|| \cdot ||y-z|| \le c_m \cdot ||y-z|| [/mm].
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Picard-Lindelöf sagt nun:
> > > >
> > > >
> > > > (*) das Anfangswertproblem hat auf [mm]I_m[/mm] genau eine Lösung
> > > > [mm]y_m.[/mm]
> > > >
> > > > Nun definiere [mm]y:J \to \IR^m[/mm] wie folgt: für x [mm]\in[/mm] J setze
> > > > [mm]y(x)=y_m(x),[/mm] falls x [mm]\in I_m.[/mm]
> > > >
> > > > y ist wohldefiniert: ist auch noch x [mm]\in I_k,[/mm] so folgt aus
> > > > (*), dass [mm]y_m=y_k[/mm] auf [mm]I_m \cap I_m,[/mm]
> > >
> > > 1) Muß es nicht heißen: [mm]I_m \cup I_k,[/mm], also Vereinigung?
> >
> > Nein. Überleg doch mal worum es geht : um die
> > Wohldefiniertheit der Funktion y.
> > >
> > > also auch
> > > > [mm]y_m(x)=y_k(x).[/mm]
> > > >
> > > > Nun überlege Dir, dass die Funktion y das
> > > > Anfangswertproblem auf J löst.
> > > >
> > >
> > > 2) Ich denke, ich muß mir daß mit den Intervallen nochmal
> > > klar machen:
> > >
> > > Skizze:
> > >
> > > Die oben genannten Intervalle mit Klammern dargestellt:
> > > J = (...) Offenes Intervall
> > > [mm]I_m[/mm] = [...] Kompaktes Intervall
> > > [mm]I_k[/mm] = <...> Kompaktes Intervall
> > >
> > > [mm]x_0[/mm] Anfangswert
> > >
> > > P-L = Satz von Picard-Lindelöf
> > >
> > >
> > > damit:
> > >
> > > (...<...[...x,...[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier ist das x und [mm]x_0[/mm]
> > > innerhalb des Intervalls [mm]I_m[/mm]
> > >
> > > (...<..x.....[......[mm]x_0[/mm]......]...>...) Hier steht das x
> > > innerhalb des Intervalls [mm]I_k[/mm], bzw. außerhalb von [mm]I_m[/mm].
> > > Man kann also die Mengen vereinigen zu: [mm]I_{neu}[/mm] := [mm]I_m \cup I_k[/mm]
> > > = <...> (Kompaktes Intervall).
> > > Also: (...<..x...........[mm]x_0[/mm].........>...) Auch hier gilt
> > > wieder P-L für [mm]x_0[/mm], aber das Intervall ist jetzt größer
> > > geworden. So sukzessiv weitergedacht, bekommt man für
> > > jedes x (in dem Intervall J) ein y. Also existiert y(x) auf
> > > dem ganzen Intervall J.
> >
> > Was soll das ganze? Ich hab glasklar definiert, wie y
> > auf J definiert ist. Was hast Du für Probleme damit
> > ?
>
> Hallo Fred, ich wollte mir einfach die Intervalle nach
> deinen Ausführungen bildlich darstellen. Das Intervall [mm]I_m[/mm]
> ist mir soweit klar, aber wie das mit dem Intervall [mm]I_k[/mm]
> gemeint ist nicht ganz. Das Intervall [mm]I_k[/mm] muß sich ja
> irgendwie mit [mm]I_m[/mm] überlappen um eine Schnittmenge zu
> bilden?
>
> Tut mir leid, das ich bei diesem Thema schwer von Begriff
> bin. Hoffe du hast noch Geduld mit mir
Ist Dir denn überhaupt nicht aufgefallen, dass im Falle k>m gilt
[mm] I_m \subset I_k [/mm] und damit [mm] I_m \cap I_k=I_m [/mm] ?
Ebenso: ist k<m, so ist
[mm] I_k \subset I_m [/mm] und damit [mm] I_m \cap I_k=I_k. [/mm]
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> > > Falls meine Bemerkung zu 1) falsch war, ist zwei wohl
> > > hinfällig
> > >
> > > Bitte um Rückmeldung!
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> > >
> > > Gruß
> > > Takota
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