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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Funktion auf lokale und globale Extremstellen und geben sie an, aufgrund welcher Überlegung Sie die Existenz bzw. Nichtexistenz von Extremstellen gefolgert haben.
[mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] mit [mm] f(x,y):=\bruch{1+x}{1+x^2+y^2} [/mm] |
Also ich habe die funktion bereits auf Extremstellen geprüft und rausgefunden, dass sie zwei lokale Extrempunkte hat.
Sie hat ein lokales Minimum bei [mm] (-1-\wurzel{2},0) [/mm] und ein lokales Maximum bei [mm] (\wurzel{2}-1,0).
[/mm]
Jetzt würde ich gerne wissen, ob dies auch globale Extremstellen sind.
Nun ist:
[mm] f(\wurzel{2}-1,0)=\bruch{1}{2}+\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] f(-1-\wurzel{2},0)=\bruch{1}{2}-\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
Ich wollte das ganze nun vll mit dem verhalten im undendlichen prüfen.
Nun ist:
[mm] \limes_{x \rightarrow \pm \infty} \bruch{1+x}{1+x^2+y^2} [/mm] = 0
[mm] \limes_{y \rightarrow \pm \infty} \bruch{1+x}{1+x^2+y^2} [/mm] = 0
Das reicht allerdings sicher noch nicht um zu begründen, dass es auch globale Extrema sind oder ?
Wie kann ich bei dieser funktion zeigen, dass es auch globale Extrempunkte sind ?
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Hallo, da sich noch niemand hier gemeldet habe, bringe ich mal eine reine Idee ein:
Offensichtlich klingt die Funktion f auf Null ab. Und das in jeder Richtung, denn sei [mm] x\in\IR [/mm] fest und betrachte den Grenzwert [mm] \lim_{y\to\pm\infty}, [/mm] dann wird f=0. Äquivalent mit umgedrehten Variablen (y fest, [mm] x\to\infty)
[/mm]
Damit ist das ganze also asymptotisch. => Deine lokalen Extrema sind auch global.
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