Gliedweise Differenzieren < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Mo 06.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hallo,
kann mir jmd. bei folgender Aufgabe behilflich sein?
Es gilt: für alle x [mm] \in [/mm] (-1,1) : [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}.
[/mm]
Jetzt soll ich durch gliedweises Differenzieren und geeignete Umformungen folgenden Ausdruck bestimmen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] n* [mm] x^n [/mm] , x [mm] \in [/mm] (-1,1)
Ich weiß, dass Potenzreihen gliedweise beliebig oft integriert und differenziert werden dürfen.
Die integrierten und abgeleiteten Reihen haben dann denselben Konvergenzradius.
Ich weiß jedoch nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll.
Kann mir da jmd. weiterhelfen?
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Hallo mml2011,
> Hallo,
>
> kann mir jmd. bei folgender Aufgabe behilflich sein?
>
> Es gilt: für alle x [mm]\in[/mm] (-1,1) : [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1-x}.[/mm]
>
> Jetzt soll ich durch gliedweises Differenzieren und
> geeignete Umformungen folgenden Ausdruck bestimmen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] n* [mm]x^n[/mm] , x [mm]\in[/mm] (-1,1)
>
>
> Ich weiß, dass Potenzreihen gliedweise beliebig oft
> integriert und differenziert werden dürfen.
Das dürfen sie aber nur innerhalb des Konvergenzradius.
> Die integrierten und abgeleiteten Reihen haben dann
> denselben Konvergenzradius.
>
> Ich weiß jedoch nicht, wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll.
> Kann mir da jmd. weiterhelfen?
Poste dazu Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mo 06.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich habe folgendes gemacht:
In unserem Skript stand:
[mm] \bruch{d}{dx} \summe_{k=0}^{\infty} f_k [/mm] (x)= [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{d}{dx} f_k(x)
[/mm]
danach wäre:
[mm] \bruch{d}{dx} \summe_{n=0}^{\infty} f_n [/mm] (x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^2 [/mm] * x^(n-1)
stimmt das so ?
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Hallo mml2011,
> Ich habe folgendes gemacht:
>
> In unserem Skript stand:
>
> [mm]\bruch{d}{dx} \summe_{k=0}^{\infty} f_k[/mm] (x)=
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{d}{dx} f_k(x)[/mm]
>
> danach wäre:
>
> [mm]\bruch{d}{dx} \summe_{n=0}^{\infty} f_n[/mm] (x) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n^2[/mm] * x^(n-1)
>
> stimmt das so ?
Das ist erstmal in Ordnung so.
Gedacht ist doch, daß von dieser Reihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = \bruch{1}{1-x}.[/mm]
auf diese
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} n*x^n[/mm]
geschlossen werden kann.
Differenziere dazu zunächst die Ausgangsreihe
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n = \bruch{1}{1-x}.[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Mo 06.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^n [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x}
[/mm]
[mm] x^n [/mm] -> wird zu: n* x^(n-1)
[mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] wird zu [mm] \bruch{1}{(1-x)^2}
[/mm]
so richtig ? und weiter?
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Hallo mml2011,
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^n[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm]
>
> [mm]x^n[/mm] -> wird zu: n* x^(n-1)
>
> [mm]\bruch{1}{1-x}[/mm] wird zu [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm]
>
> so richtig ? und weiter?
Bis hierhin ist alles richtig.
Überlege Dir was tun mußt, um von
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}n*x^{n-1}[/mm]
zu
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}n*x^{n}[/mm]
kommen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mo 06.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ein Moment: wieso wird aus [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] plötzlich [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] ?
Haben Sie sich vertippt? Wenn nicht könnten Sie mir das noch einmal erklären?
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Hallo mml2011,
> Ein Moment: wieso wird aus [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] plötzlich
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] ?
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}n*x^{n-1}[/mm]
Hier beginnt die Reihe ab n=1 zu laufen, weil
[mm]\left( \ x^{0} \right)' \not= x^{-1}[/mm]
Bei der Summe
[mm]\summe_{n=\blue{1}}^{\infty}n*x^{n}[/mm]
beginnt die Reihe ab n=1 zu laufen,
weil der Summand mit dem Index n=0
keinen Beitrag zur gesamten Summe leistet.
Natürlich kannst Du hier auch schreiben:
[mm]\summe_{n=\blue{0}}^{\infty}n*x^{n}[/mm]
> Haben Sie sich vertippt? Wenn nicht könnten Sie mir das
> noch einmal erklären?
>
Wir sind hier alle per "Du".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mo 06.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Achso!
Gut dann bin ich wie folgt vorgegangen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty+1} [/mm] n*x^(n-1+1) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} n*x^n
[/mm]
wäre das so richtig ?
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Hallo mml2011,
> Achso!
>
>
> Gut dann bin ich wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty+1}[/mm] n*x^(n-1+1) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} n*x^n[/mm]
>
> wäre das so richtig ?
Nein, das ist Quark.
Multipliziere [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^{n-1}$ [/mm] doch einfach mit [mm] $x\neq [/mm] 0$
Dann hast du doch [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\cdot{}x^n$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mo 06.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Das wars ? Mehr war nicht zu machen bei dieser Aufgabe? :S
Und was geschieht mit den gegebenen Intervallgrenzen? x [mm] \in [/mm] (-1,1) ??
Müsste ich bei dieser Aufgabe genauso vorgehen?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} n^2 [/mm] * x^2n x [mm] \in [/mm] (-1,1)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Starte mit
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^{n}
[/mm]
differenziere gliedweise ---> multipliziere mit z ---> differenziere gliedweise ---> multipliziere mit z --> setze [mm] x^2 [/mm] für z ein.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 07.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Diese unterschiedliche vorgehensweisen irritieren mich eigentlich nur, aber wenn es auf diese weise einfacher ist, dann versuch ich das natürlich auch:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}z^{n} [/mm]
differenzieren
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] n* z^(n-1)
mit z multiplizieren:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] n*z* z^(n-1)
differenzieren:
2n* z ^(2n-2)
mit z erweitern:
2zn* z^( 3n-2)
[mm] x^2= [/mm] z setzen:
2zn*x^(2n-2)
so richtig?was bringt das ganze jetzt
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> Diese unterschiedliche vorgehensweisen irritieren mich
> eigentlich nur, aber wenn es auf diese weise einfacher ist,
> dann versuch ich das natürlich auch:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}z^{n}[/mm]
>
> differenzieren
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] n* z^(n-1)
>
> mit z multiplizieren:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] n*z* z^(n-1)
das kann man doch wieder vereinfachen zu
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}n*z*z^{n-1}=\summe_{n=0}^{\infty}n*z^{n}
[/mm]
dann von hier aus nochmal weitermachen.
am ende hast du dann deine ausgangsreihe die du explizit angeben kannst. danach musst du halt die ganzen schritte die du links gemacht hast, auch bzw umgekehrt auf der rechten seite (dort wo das explizite steht) machen
>
> differenzieren:
>
> 2n* z ^(2n-2)
>
> mit z erweitern:
>
> 2zn* z^( 3n-2)
>
> [mm]x^2=[/mm] z setzen:
>
> 2zn*x^(2n-2)
>
> so richtig?was bringt das ganze jetzt
>
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Di 07.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Hilft mir nicht unbedingt weiter:
n * [mm] z^n [/mm] (n log (z) +2)
und jetzt?
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Hallo,
> Hilft mir nicht unbedingt weiter:
>
> n * [mm]z^n[/mm] (n log (z) +2)
kannst du erklären, was zum Geier du da machst?
Gruß
schachuzipus
>
> und jetzt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 08.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich weiß es selber nicht.
Wir hatten mit dir so schön begonnen, jetzt blick ich gar nicht mehr durch.
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> Ich weiß es selber nicht.
> Wir hatten mit dir so schön begonnen, jetzt blick ich gar
> nicht mehr durch.
dann lies dir den ganzen thread nochmal durch. wenn du die erste aufgabe komplett verstehst, wird die 2. kein problem darstellen, weil sie ganz genauso aufbaut
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mi 08.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Also ist die Erste komplett fertig? ..
Ich dachte das gehört noch zur ersten Teilaufgabe.
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Hallo nochmal,
> Also ist die Erste komplett fertig? ..
Ich sehe noch keinen Ausdruck hier im thread stehen für [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^n$ [/mm] hier stehen.
Schreibe mal hin, was das nun ergibt.
> Ich dachte das gehört noch zur ersten Teilaufgabe.
Das andere war wohl der Anfang von Teilaufg.2, aber da ist einiges vermurkst.
Es ist außerdem sehr sehr unübersichtlich, was es potentiellen Helfern sehr erschwert, dir zu helfen.
Schreibe also immer dazu, wo genau du bist und was du machst.
Bei 2) sollst du einen Ausdruck für [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}n^2\cdot{}x^{2n}$ [/mm] finden.
Nach Freds Tipp hast du [mm] $z=x^2$ [/mm] gesetzt, und [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n$ [/mm] einmal differenziert und mit $z$ multipliziert und kamst schlussendlich auf
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}nz^n$
[/mm]
Dies solltest du nun nochmal differenzieren und mit z multiplizieren und hast irgendwas mit [mm] $\ln$ [/mm] da hereingezaubert.
Rechne da nochmal weiter (und auch alle Schritte für den Ausdruck [mm] $\frac{1}{1-z} [/mm] \ \ [mm] \left(=\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n\right)$
[/mm]
Also präsentiere uns am besten nochmal alles schön säuberlich, damit wir nicht ellenlang hin- und herscrollen müssen und die Bröckchen mühsam zusammenklauben müssen.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mi 08.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich habe noch eine Verständnisfrage, wenn wir substituieren, wohin verschwindet dann das [mm] n^2 [/mm] von der Ausgangsfolge (Teilaufgabe 2)?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mi 08.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich habe noch eine Verständnisfrage, wenn wir bei der zweiten Aufgabe substituieren, wohin verschwindet dann das [mm] n^2 [/mm] von der Ausgangsfolge?
Beachten wir diesen Teil erst gar nicht ?
Sry für diese Frage, aber ich muss es ja irgendwie verstehen
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Hallo nochmal,
> Ich habe noch eine Verständnisfrage, wenn wir bei der
> zweiten Aufgabe substituieren, wohin verschwindet dann das
> [mm]n^2[/mm] von der Ausgangsfolge?
> Beachten wir diesen Teil erst gar nicht ?
> Sry für diese Frage, aber ich muss es ja irgendwie
> verstehen
Himmel noch mal, das verschwindet nicht, du sollst von [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^2[/mm] ausgehen und zweimal differenzieren und zwischendurch zweimal je mit [mm]x^2[/mm] multiplizieren.
Dazu kannst du zur Vereinfachung [mm]x^2=z[/mm] substituieren.
Da du wohl dermaßen auf dem Schlauch festklebst, rechne ich es dir vor:
Für [mm]|z|<1[/mm] (also auch [mm]|x^2|<1[/mm]) ist
[mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}z^n=\frac{1}{1-z}[/mm]
Nun differenzieren wir auf beiden Seiten
[mm]\Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}z^{n-1}=\frac{1}{(1-z)^2}[/mm]
Nun beiderseitig mal z:
[mm]\Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}z^n=\frac{z}{(1-z)^2}[/mm]
Nun wieder auf beiden Seiten differenzieren
[mm]\Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}n\cdot{}z^{n-1}=\frac{z+1}{(1-z)^3}[/mm]
Nun wieder mal z auf beiden Seiten
[mm]\Rightarrow \red{\sum\limits_{n=0}^{\infty}n^2\cdot{}z^n}=\blue{\frac{z(z+1)}{(1-z)^3}}[/mm]
Resubstituiere nun noch mit [mm]z=x^2[/mm] und du hast mit dem blauen Ausdruck einen Ausdruck für den roten Ausdruck gefunden, wie in der Aufgabenstellung verlangt.
Wie lautet entsprechend der Ausdruck für Teil 1?
Der steht immer noch aus, soweit ich das sehe ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 08.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Achso !!!!
Für die erste Aufgabe habe ich jetzt folgendes stehen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^2 [/mm] * x^(n-1) = [mm] \bruch{1*((1-x)^2)-x(-2(1-x))}{(1-x)^4} [/mm] = 1 / (1-x)^^2
so richtig ?
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Hallo nochmal,
> Achso !!!!
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> Für die erste Aufgabe habe ich jetzt folgendes stehen:
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n^2[/mm] * x^(n-1) = [mm]\bruch{1*((1-x)^2)-x(-2(1-x))}{(1-x)^4}[/mm] = 1 / (1-x)^^2
>
> so richtig ?
Nein!
Keine Ahnung, was du da machst.
Du sollst einen Ausdruck finden für [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^n[/mm] - woher du das [mm]n^2[/mm] zauberst, ist mir schleierhaft.
Gehe von [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}[/mm] aus, differenziere auf beiden Seiten und multipliziere dann auf beiden Seiten mit x.
Dann steht linkerhand [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n\cdot{}x^n[/mm] und rechterhand der gesuchte Ausdruck.
Jetzt aber, sonst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 08.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich mach mir das aber auch immer so schwer:
Also:
[mm] x^n [/mm] = 1 / 1-x | differenzieren
n* (x^(n-1)) = 1 / [mm] (1-x)^x [/mm] | x
n* [mm] x^n [/mm] = x/ [mm] (1-x)^2
[/mm]
jetzt aber stimmts?
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Hallo nochmal,
> Ich mach mir das aber auch immer so schwer:
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> Also:
>
> [mm]x^n[/mm] = 1 / 1-x | differenzieren
>
> n* (x^(n-1)) = 1 / [mm](1-x)^{\red{x}[/mm] | x
Vertippt!
>
> n* [mm]x^n[/mm] = x/ [mm](1-x)^2[/mm]
>
>
> jetzt aber stimmts?
Naja, mit viel Wohlwollen und Fantasie denke man sich linkerhand noch überall die Summenzeichen dazu, dann haut es hin ...
Du schreibst nicht sauber auf, das macht es sehr sehr anstrengend und nimmt (mir) die Lust, dir weiter zu helfen.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mi 08.06.2011 | | Autor: | mml2011 |
Ich bin noch neu hier.
Merke ich mir aber für das nächste Mal.
Vielen vielen DANK!
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